문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
S(x)=∫₀ˣf(t)dt의 도함수는 S′(x)=f(x). 즉 주어진 f의 그래프가 곧 S의 증감표다. f>0이면 S 증가, f<0이면 S 감소. 그래프에서 f는 x=1, x=3에서 x축을 지나므로 S′=0인 지점은 x=1, x=3. f가 (0,1)에서 양, (1,3)에서 음이니 x=1에서 극대다.
◀ f의 부호가 그대로 S의 증가·감소다
닫힌구간 [0,3]에서 최댓값·최솟값은 극값을 갖는 x=1과 끝점 x=0, x=3에서만 나온다. 세 점의 S값만 계산하면 끝. S(0)=0, S(1)=∫₀¹f=2, S(3)=∫₀³f. 괜히 중간을 헤매지 말고 후보 세 점으로 좁혀라.
◀ 최대·최소는 극값점과 끝점에서만 나온다
주어진 값이 ∫₀¹f=2, ∫₁³f=−3이므로 S(3)=∫₀³f=∫₀¹f+∫₁³f=2+(−3)=−1. 정적분은 구간을 이어붙일 수 있다(가법성). 최댓값은 S(1)=2, 최솟값은 S(3)=−1이니 합=2+(−1)=1. 주어진 넓이값을 더하고 빼는 산수로 끝난다.
◀ 정적분의 구간 가법성으로 값을 이어붙여라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : S(x)=∫₀ˣf(t)dt의 도함수는 S′(x)=f(x)(미적분 기본정리)이므로, 주어진 f의 그래프 부호가 그대로 S의 증감을 준다. f>0(0<x<1)에서 S 증가, f<0(1<x<3)에서 S 감소 → x=1에서 극대. 닫힌구간의 최대·최소는 극값점(x=1)과 양 끝점(x=0, x=3)에서만 나오므로 세 점의 S값만 정적분으로 계산한다.
실수 포인트 ① : S′=f를 놓치고 f를 다시 적분해 함수식을 구하려는 실수. 그래프 문제는 식 없이 f의 부호만으로 S의 증감이 끝난다.
실수 포인트 ② : 최솟값 후보로 시작점 S(0)=0만 보고 끝점 S(3)을 빠뜨리는 실수. S(3)=−1이 더 작으므로 최솟값은 −1이다.
실수 포인트 ③ : S(3)을 ∫₀³f로 통째로 못 구해 막히는 실수. ∫₀³f=∫₀¹f+∫₁³f=2+(−3)=−1로 구간을 쪼개 더하면 된다. 최댓값 2 + 최솟값 (−1) = 1.
정답 : ① (최댓값과 최솟값의 합 = 1)