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적분변수는 t다. f(x)는 t와 무관하니 상수 취급해 밖으로 빼낸다. g(x)=f(x)∫ax{f(t)}⁴dt − ∫ax{f(t)}⁵dt. 이제 곱의 미분법을 쓰면 g′(x)=f′(x)∫ax{f(t)}⁴dt + f(x){f(x)}⁴ − {f(x)}⁵. 뒤 두 항이 {f(x)}⁵−{f(x)}⁵=0으로 통째로 상쇄된다.
◀ 적분 밖 f(x)는 상수 → 곱미분하면 항이 소거된다
상쇄 후 남는 건 g′(x)=f′(x)∫ax{f(t)}⁴dt. f′(x)=3(x−3)(x−5)는 x=3, x=5에서 부호를 바꾸고, 적분 인수는 x=a에서 켜진다. 그래서 g′(x)=0은 x=3, x=5, x=a 세 곳. 험악한 식이 결국 두 인수의 곱으로 깔끔히 정리된다.
◀ 복잡한 식이 두 인수의 곱으로 정리된다
{f(t)}⁴≥0(짝수제곱)이므로 h(x)=∫ax{f(t)}⁴dt는 x>a면 +, x<a면 −, x=a에서 0 → x=a에서 부호 전환 1회. 극값이 오직 하나 = g′의 부호 전환이 딱 1번. a가 3이나 5와 겹쳐 이중근이 되면 그 자리의 부호전환이 상쇄되어 전환이 1번만 남는다. 그래서 a=3 또는 a=5, 합은 8.
◀ 짝수제곱 적분은 x=a에서만 부호가 바뀐다(면적은 음수 불가)
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 겉모습은 험악하지만 심장은 두 가지다. ① 적분 밖 f(x)를 상수로 빼내 곱의 미분법을 쓰면 {f(x)}⁵ 항이 마법처럼 상쇄되어 g′(x)=f′(x)∫ax{f(t)}⁴dt로 정리된다. ② {f(t)}⁴은 짝수제곱이라 절대 음수가 안 되니 적분 h(x)는 x=a에서만 부호가 바뀐다. 이제 f′의 부호전환점(3, 5)과 적분의 부호전환점(a)이 겹치게 만들어 전환 횟수를 1로 줄이는 게임이다.
실수 포인트 ① : {f(x)−f(t)}를 t로 적분하면서 f(x)까지 t의 함수로 착각하는 실수. 적분변수는 t뿐, f(x)는 상수다.
실수 포인트 ② : 곱의 미분으로 전개할 때 f(x)·{f(x)}⁴ 항과 −{f(x)}⁵ 항이 상쇄되는 걸 놓치는 실수. 이 상쇄가 문제의 심장이다.
실수 포인트 ③ : a=3, a=5에서 '이중근이니 극값'이라 착각하는 실수. 오히려 두 부호전환이 서로 상쇄되어 그 점은 극값이 '아니게' 되고, 남은 한 점에서만 극값이 생겨 조건을 만족한다. 반대로 a≠3,5면 극값이 3개라 조건 위배.
정답 : 8 (a=3 또는 5, 3+5=8)