문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
F′(x)=f(x). 최고차항이 양수인 사차함수 F가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 W자 모양이어야 하고, 그러려면 F′=f가 부호를 세 번 바꿔야 한다. 즉 삼차함수 f(x)가 x축을 서로 다른 세 점에서 뚫어야 한다.
◀ ‘극대·극소 둘 다’ = 도함수가 서로 다른 세 실근
f′(x)=3x²−27=3(x−3)(x+3)이라 x=−3에서 극대, x=3에서 극소. 극댓값 f(−3)=54+a, 극솟값 f(3)=−54+a. 삼차함수가 세 실근을 가지면 극댓값>0, 극솟값<0으로 부호가 반대이므로 곱이 음수 → (54+a)(−54+a)<0. 1299의 ≥0과 짝을 이루는 스킬이다.
◀ 이번엔 부등호가 <0 — 1299(≥0)와 정반대
(54+a)(a−54)<0 → −54<a<54. 양 끝 −54, 54는 등호가 없어 포함되지 않으므로 정수는 −53, −52, …, 52, 53. 개수는 54−(−54)−1=107. 열린구간(양 끝 제외) 정수 개수 공식 '끝값 차에서 1 빼기'를 외워두면 셈 실수가 사라진다.
◀ 열린구간(양 끝 제외) 정수 개수 = 큰 값 − 작은 값 − 1
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 1299와 완전히 같은 뼈대다. 다만 극값이 둘 다라 삼차함수가 세 실근을 가져야 하고, 조건 부등호가 <0으로 바뀐다. F를 적분하지 말고 F′=f로 보고 근의 개수만 따진다.
실수 포인트 ① : '극대·극소 모두'를 '극값 하나'와 헷갈려 ≥0으로 쓰는 실수. 둘 다 가지려면 세 실근 → (극댓값)(극솟값)<0(순수 부등호).
실수 포인트 ② : 극값 대입 부호 실수. f(−3)=(−3)³−27(−3)+a=−27+81+a=54+a, f(3)=27−81+a=−54+a. 부호를 침착하게 하나씩.
실수 포인트 ③ : 정수를 셀 때 양 끝 포함/미포함 혼동. −54<a<54는 양 끝 제외라 107개. (양 끝을 포함으로 착각하면 109개가 되어 오답.)
정답 : 107