문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
∫0af(t)dt는 위·아래 끝이 둘 다 상수(0과 a)라서 값 자체가 하나의 상수다. 우변을 x2+x·(상수)+상수 꼴로 읽어라. 미분하려 들지 말고 미지의 상수 하나로 놓는 게 첫걸음이다.
◀ 적분구간이 상수 → 그 정적분은 미지수 하나로 취급
우변은 x에 대한 이차식이다. 좌변 (x−1)f(x)도 이차식이어야 하므로 f(x)는 일차식이고, x2의 계수가 1이니 최고차항 계수도 1. 즉 f(x)=x+n. 복잡한 등식도 차수부터 세면 함수 모양이 잡힌다.
◀ (x−1)f(x)가 이차식 → f(x)=x+n
x=0을 넣으면 x·∫ 항이 통째로 사라져 f(0)=−(3/2)a. x=1을 넣으면 좌변 (x−1)f(x)=0이 되어 ∫0af(t)dt=−1−(3/2)a라는 방정식이 튀어나온다. 특정 x값 대입은 항을 죽이는 스킬이다.
◀ x=1 대입 → (x−1)인수가 0 → 숨은 방정식 등장
∫0a(t−(3/2)a)dt=[½t2−(3/2)at]0a=−a2. 이를 −1−(3/2)a와 같게 두면 2a2−3a−2=0, (2a+1)(a−2)=0. a>0 조건으로 a=2만 살린다. 마지막에 부등호 조건으로 근 거르는 걸 잊지 마라.
◀ a>0 조건으로 a=2 확정 → f(x)=x−3
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ∫0af(t)dt는 적분구간이 상수라 값 자체가 상수다. 겁먹지 말고 미지수 하나로 놓고, (x−1)f(x)의 차수비교로 f(x)=x+n을 확정한 뒤 x=0, x=1을 차례로 대입해 f(0)과 a의 방정식을 만든다. 그 다음 실제 적분으로 a를 결정하면 끝.
실수 포인트 ① : x·∫0af(t)dt 항을 함수로 착각해 미분하려는 실수. 적분구간이 상수면 미분해봐야 0이다. 상수로 놓고 대입하라.
실수 포인트 ② : x2 계수 비교를 빠뜨려 f의 최고차 계수를 놓치는 실수. (x−1)·x=x2−… 이므로 f의 최고차 계수는 1이어야 한다.
실수 포인트 ③ : 2a2−3a−2=0에서 a=−1/2까지 답으로 챙기는 실수. a>0이 못박혀 있으니 a=2뿐이다.
정답 : 7 (f(x)=x−3이므로 f(10)=10−3=7)