문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
∫0x(2t−x)f(t)dt=∫0x2tf(t)dt − x∫0xf(t)dt. t로 적분할 땐 x가 상수라서 밖으로 빠진다. 피적분함수 안에 t와 x가 섞여 있으면 분리가 무조건 1순위다.
◀ 적분변수 t 기준, x는 상수 → 적분 밖으로 분리
적분구간 위끝에 x가 있으면 미분해서 정적분을 없앤다. d/dx∫0xg(t)dt=g(x). 단 x∫0xf(t)dt는 곱이라 곱미분: ∫0xf(t)dt+xf(x). 이 문제는 f를 꺼내려고 두 번 미분한다.
◀ 적분구간에 x → 미분, 곱이면 곱의 미분법
한 번 더 미분하면 f(x)+xf'(x)−f(x)=15x3−4x2+6ax, 즉 xf'(x)=x(15x2−4x+6a). f가 다항함수라 양변을 x로 나눠 f'(x)=15x2−4x+6a. 공통인수 x로 깔끔히 나누는 게 핵심이다.
◀ xf'(x)=x(…) → 양변 x로 나눠 f'(x)
f(x)=∫f'(x)dx=5x3−2x2+6ax+C. f(0)=0 → C=0, f(1)=1 → 5−2+6a=1 → a=−1/3. 조건이 두 개면 미지수 두 개(C, a)를 하나씩 짝지어 처리한다.
◀ 조건 2개 = 미지수 2개, 하나씩 대응시켜 결정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 피적분함수 (2t−x)에 t와 x가 섞여 있으니 x를 적분 밖으로 분리하는 게 1순위. 그다음 ∫0x 꼴을 두 번 미분해 f'(x)를 뽑고, f(0)=0으로 적분상수, f(1)=1로 a를 결정한다. 미분→적분→대입의 왕복이 이 유형의 뼈대다.
실수 포인트 ① : ∫0x(2t−x)f(t)dt를 분리 없이 통째로 미분하려다 꼬이는 실수. 먼저 ∫2tf − x∫f로 쪼개라.
실수 포인트 ② : x∫0xf(t)dt를 미분할 때 곱미분을 안 해서 xf(x)항을 빠뜨리는 실수. (x)'∫+x(∫)' 임을 기억하라.
실수 포인트 ③ : a=−1/3의 부호를 흘려 f(2)를 잘못 계산하는 실수. f(x)=5x3−2x2−2x 이므로 f(2)=40−8−4=28.
정답 : ③ (f(2)=28)