문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
정적분 등식의 상한 x에 아래끝 1을 대입하면 ∫11=0. (가)에서 0=3−3+a → a=0, (나)에서 0=5−1+1+b → b=−5. 미지의 상수가 붙은 정적분 등식을 보면 반사적으로 x=아래끝을 넣어라.
◀ ∫ᵃˣ 꼴 등식 → x=a 대입이 상수 잡는 첫수
미적분 기본정리로 양변을 미분하면 적분기호가 사라진다. (가)→ 2f(x)−g(x)=6x−3, (나)→ f(x)+2g(x)=15x²−2x+1. 적분 등식은 ‘상수는 대입, 함수식은 미분’이라는 두 갈래로 공략한다.
◀ 정적분 등식은 대입(상수)+미분(함수식) 투트랙
두 식을 f(x), g(x)에 대한 일차 연립방정식으로 본다. 위 식 ×2 후 더해 g를 소거하면 5f=15x²+10x−5 → f(x)=3x²+2x−1, 되대입해 g(x)=6x²−2x+1. f(1)=4, g(1)=5로 f(1)+g(1)+a+b=4+5+0−5=4.
◀ f·g 연립은 계수 맞춰 한 문자부터 소거
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 정적분 등식 두 개가 주어지면 공략법은 정해져 있다. 상수(a, b)는 x=1을 대입해 좌변을 0으로 만들어 잡고, 함수식은 양변을 미분해 적분을 벗긴다. 미분 후 나온 두 식을 f·g 연립으로 풀면 끝이다.
실수 포인트 ① : x=1을 대입할 때 좌변 ∫11을 0으로 처리하지 않고 헤매는 실수. 상한=하한이면 무조건 0이다.
실수 포인트 ② : (나)를 미분할 때 5x³→15x²는 챙기면서 상수 b의 미분(=0)을 빼먹거나, −x²→−2x 계수를 놓치는 실수. 항별로 정확히 미분하라.
실수 포인트 ③ : 마지막에 a+b를 빠뜨리고 f(1)+g(1)=9만 답하는 실수. a=0, b=−5까지 더해 4가 정답이다.
정답 : 4