문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
주어진 식을 g(x)라 통째로 묶어라. g(x)가 (x+2)²으로 나눠떨어진다는 건 x=−2가 중근이라는 뜻 → g(−2)=0 그리고 g′(−2)=0 두 방정식이 공짜로 생긴다. 이 ‘이중 조건’이 이 문제의 열쇠다.
◀ 이차식 (x−m)²으로 나눠떨어짐 = 함숫값·도함수값 둘 다 0
g(−2)를 구할 때 ∫−2−2 f(t)dt는 위끝·아래끝이 같으니 무조건 0. 그래서 g(−2)=f(−2)+4=0 → f(−2)=−4. 또 g(x)를 미분할 때 ∫−2x f(t)dt의 도함수는 f(x)(미적분 기본정리)라는 걸 잊지 마라.
◀ 적분 상한=하한 → 0, ∫ᵃˣf(t)dt 미분 → f(x)
묻는 건 f′(x)를 x+2로 나눈 나머지, 즉 f′(−2) 하나다. g′(x)=f′(x)+2x+f(x)에 x=−2를 넣으면 g′(−2)=f′(−2)−4+f(−2)=0. f(−2)=−4를 대입하면 f′(−2)=8. 나머지정리 덕분에 값 하나만 구하면 끝난다.
◀ 나머지를 물으면 대입값 하나만 겨냥하라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 복잡한 식 f(x)+x²+∫−2xf(t)dt를 g(x) 하나로 묶는 것이 첫 단추다. ‘(x+2)²으로 나눠떨어진다’를 보는 순간 x=−2가 중근임을 떠올려 g(−2)=0, g′(−2)=0 두 식을 세운다. 최종적으로 묻는 나머지는 나머지정리로 f′(−2) 값 하나로 귀결된다.
실수 포인트 ① : (x+2)²으로 나눠떨어질 때 g(−2)=0만 쓰고 g′(−2)=0을 빠뜨리는 실수. 중근이니 조건은 반드시 두 개다.
실수 포인트 ② : ∫−2−2f(t)dt를 함수로 착각해 억지로 계산하려는 실수. 위끝=아래끝이면 즉시 0이다.
실수 포인트 ③ : g′(−2)에 f(−2)=−4를 대입할 때 부호를 놓쳐 f′(−2)=0이나 16으로 잘못 계산하는 실수. g′(−2)=f′(−2)−4−4=0 → f′(−2)=8이다.
정답 : ④ (나머지 = f′(−2) = 8)