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두 가지를 동시에 잡아라. ① ∫01g(t)dt=k(상수)로 놓으면 f(x)=2x+2k. ② g는 f의 부정적분이므로 g(x)=∫f(x)dx=x²+2kx+C. 미지수가 k와 C 두 개라는 걸 처음부터 인식하고 식 두 개를 준비해야 한다.
◀ 상수 치환 k와 적분상수 C, 미지수는 두 개다
g(0)=C이고 ∫01g(t)dt=1/3+k+C이므로 (나)는 C−(1/3+k+C)=2/3. 여기서 C끼리 상쇄되어 −1/3−k=2/3 → k=−1. 두 미지수 중 C가 스스로 사라지는 식을 먼저 골라 k를 확정하는 게 계산을 반으로 줄이는 순서다.
◀ C가 소거되는 식을 먼저 써서 k를 뽑아라
k=−1을 알면 g(x)=x²−2x+C. 이제 처음 정의 ∫01g(t)dt=k=−1에 대입하면 1/3−1+C=−1 → C=−1/3. 따라서 g(x)=x²−2x−1/3, g(1)=1−2−1/3=−4/3.
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ∫01g(t)dt=k(상수)로 치환하고, “g가 f의 부정적분”이라는 말을 g(x)=∫f(x)dx=x²+2kx+C로 번역하는 두 수가 관건이다. 미지수가 k, C 두 개이므로 식도 두 개가 필요하다. 조건 (나)에서 C가 소거되며 k가 먼저 나오고, 남은 정의식으로 C를 마무리한다.
실수 포인트 ① : “부정적분”을 놓치고 g(x)=2x²+2kx처럼 적분상수 C를 빠뜨리는 실수. 부정적분에는 항상 +C가 붙는다. 이 C가 없으면 (나) 조건을 쓸 수조차 없다.
실수 포인트 ② : k와 C를 한꺼번에 구하려다 꼬이는 실수. (나) 식에서 C가 저절로 상쇄되므로 k를 먼저 확정하고, 그 다음 정의식에 넣어 C를 구하는 순서를 지켜야 깔끔하다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 ∫01(t²−2t+C)dt를 1/3−1+C로 계산할 때 부호를 놓쳐 C를 틀리는 실수. C=−1/3이어야 g(1)=−4/3(②번)이 나온다.
정답 : ② (g(1)=−4/3)