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이 조건은 그래프를 오른쪽으로 3, 위로 4만큼 옮기면 자기 자신과 겹친다는 뜻이다. 그래서 정적분도 구간을 3만큼 오른쪽으로 옮길 때마다 규칙적으로 값이 커진다. ‘준주기’는 주기함수에 ‘높이 증가’가 얹힌 것뿐이라고 보면 편하다.
◀ f(x)=f(x−p)+q는 ‘주기 p + 매 주기 q씩 상승’
∫36 f(x)dx = ∫36[f(x−3)+4]dx = ∫03 f(x)dx + 4×3. 즉 [0,3]→[3,6]으로 밀면 정적분에 4×3=12가 더해진다. 조건 (나) ∫06=0을 쪼개면 2∫03+12=0 → ∫03 f(x)dx=−6. 기준칸 값을 먼저 확정하는 게 열쇠다.
◀ 구간 p 이동 = 정적분에 q×(구간폭) 추가
구하는 건 x=6~9의 넓이. f가 증가함수라 6<x<9에서 f(x)>0이므로 절댓값 걱정 없이 넓이=∫69 f(x)dx다. f(x)=f(x−6)+8을 쓰면 ∫69 f=∫03 f+8×3=−6+24=18.
◀ 부호가 일정하면 정적분=넓이
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)=f(x−3)+4는 ‘주기 3, 매 주기 +4’인 준주기함수다. 정적분에서 구간을 한 주기(3)만큼 오른쪽으로 옮기면 그 값은 ‘원래 구간 정적분 + 4×3’만큼 커진다. 조건 (나)로 기준칸 ∫03=−6을 먼저 확정하고, 구하는 ∫69은 기준칸에서 두 주기(+8) 떨어져 있으니 −6+24=18. 증가함수라 이 값이 곧 넓이다.
실수 포인트 ① : 준주기를 그냥 주기(f(x)=f(x−3))로 착각해 상수 +4를 빠뜨리는 실수. +4가 매 주기 정적분을 4×3=12씩 밀어올린다.
실수 포인트 ② : ∫06=0에서 ∫03=0으로 성급히 결론내는 실수. 실제로는 2∫03+12=0이라 ∫03=−6(음수)다. 이 부호를 놓치면 최종답이 틀어진다.
실수 포인트 ③ : x=6~9 구간을 기준칸에서 ‘한 주기’만 떨어졌다고 계산하는 실수. [0,3]→[6,9]는 두 주기라 +8×3=24를 더해야 한다.
정답 : ⑤ (넓이 18)