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이건 주기함수가 아니라 준주기함수다. x가 2 커지면 함숫값이 2 커진다. 그래서 구간 [k, k+2]의 적분을 [0,2]로 끌어오면 f(x)에 상수가 더해진 꼴 ∫₀²{f(x)+상수}dx가 된다. ‘평행이동 = 함숫값에 상수 더하기’로 번역하라.
◀ 준주기는 구간 이동 시 함숫값에 상수가 붙는다
∫₋₂⁰f=∫₀²{f−2}, ∫₀²f=∫₀²f, ∫₂⁴f=∫₀²{f+2}, ∫₄⁶f=∫₀²{f+4}. 네 조각을 전부 [0,2] 위로 겹쳐 더하면 ∫₀²{4f(x)+4}dx. 조각마다 붙는 상수만 규칙적으로 −2, 0, +2, +4다.
◀ 구간을 한 곳에 모으면 f 계수와 상수가 딱 떨어진다
∫₋₂⁶f = ∫₀²{4f(x)+4}dx = 4∫₀²f(x)dx + ∫₀²4dx = 4×(−2/3) + 4×2 = −8/3 + 8 = 16/3. 주어진 ∫₀²f=−2/3은 4f 항에 그대로 넣고, 상수 4는 구간 길이 2를 곱해 8. 깔끔하게 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 f(x+2)=f(x)+2가 ‘주기’가 아니라 ‘준주기’라는 인식이다. 구간 [−2,6]을 폭 2짜리 네 조각으로 자르고 각 조각을 [0,2]로 평행이동하면 f(x)에 −2, 0, +2, +4가 더해진 형태로 통일된다. 모두 더하면 4f(x)+4가 되어 주어진 ∫₀²f=−2/3만 넣으면 끝난다.
실수 포인트 ① : f(x+2)=f(x)+2를 f(x+2)=f(x)로 착각해 주기함수로 푸는 실수. +2가 붙으므로 구간마다 넓이가 일정하지 않다.
실수 포인트 ② : 구간을 옮길 때 더해지는 상수의 부호를 반대로 넣는 실수. 왼쪽(x가 작은 쪽)으로 갈수록 함숫값은 작아지므로 ∫₋₂⁰에는 −2가 맞다.
실수 포인트 ③ : 상수항 적분 ∫₀²4dx를 그냥 4로 두는 실수(길이 2 곱하기를 빠뜨림). ∫₀²4dx = 4×2 = 8이다.
정답 : ⑤ (16/3)