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모든 x에서 f'(x)=f'(−x)면 f'(x)는 y축 대칭(우함수)이다. f가 최고차 1인 삼차함수이므로 f’는 최고차 3인 이차식인데, 우함수라 홀수차(x)항이 사라진다. 따라서 f'(x)=3x²+a 꼴로 놓을 수 있다.
◀ f'(x)=f'(−x) ⟺ f'(x)에 x의 홀수차항 없음
조건 (나)에서 x=−2가 극대 → f'(−2)=0. 우함수 대칭 때문에 f'(2)=f'(−2)=0도 성립한다. 즉 f'(x)는 x+2와 x−2를 인수로 가져 f'(x)=3(x+2)(x−2)=3x²−12. (또는 f'(x)=3x²+a에 f'(−2)=0 대입 → a=−12로 같은 결과)
◀ 대칭이면 극점도 ± 짝으로 나온다
f(x)=∫(3x²−12)dx=x³−12x+C. 극댓값 f(−2)=18 → −8+24+C=18 → C=2. 따라서 f(x)=x³−12x+2, f(3)=27−36+2=−7. ‘극댓값이 18’은 위치 f'(−2)=0과 높이 f(−2)=18 두 정보임을 놓치지 마라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가) f'(x)=f'(−x)를 ‘f'(x)는 우함수’로 번역하는 순간, f'(x)=3x²+a라는 깔끔한 꼴이 나온다(홀수차항 소멸). 조건 (나)의 ‘극댓값 18’은 위치(f'(−2)=0)와 높이(f(−2)=18) 두 정보다. 위치로 a=−12를, 높이로 C=2를 잡으면 f가 완성되고 f(3)은 대입만 남는다.
실수 포인트 ① : f'(x)=f'(−x)를 단순 함숫값 관계로만 보고 넘어가는 실수. 이건 우함수(짝함수) 조건이고, 삼차함수 f’의 x항(홀수차)이 0이라는 강력한 정보다.
실수 포인트 ② : ‘극댓값 18’을 f(−2)=18 하나로만 쓰고 f'(−2)=0을 빠뜨리는 실수. 극값은 언제나 미분값 0 + 함숫값, 항상 두 식이다.
실수 포인트 ③ : f(3) 계산에서 부호를 놓쳐 27−36+2를 잘못 더하는 실수. 27−36=−9, −9+2=−7이다.
정답 : ② (f(3)=−7)