문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
둘째 식 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)는 곱의 미분법 {f(x)g(x)}’ 그 자체다. 이 패턴을 즉시 알아채지 못하면 문제가 풀리지 않는다. {f+g}’=2x+1, {fg}’=3x²−2x+2 두 개로 정리하는 게 출발점이다.
◀ f’g+fg’ = (fg)’, 이 간파가 첫 관문
각각 적분: f+g=x²+x+C₁, fg=x³−x²+2x+C₂. x=0을 대입해 f(0)=2, g(0)=−1로 상수 결정 → C₁=1, C₂=−2. 그러면 fg=x³−x²+2x−2=(x−1)(x²+2). 인수 (x−1)과 (x²+2)가 f, g 후보다.
◀ fg 인수분해 → 두 인수가 f와 g
후보 x−1과 x²+2 중 f(0)=2를 만족하는 건 x²+2(0에서 2). 따라서 f=x²+2, g=x−1 (x−1은 0에서 −1로 g(0)=−1과 일치). 초기값은 인수의 정체를 가르는 이름표다.
◀ x=0 대입값으로 f/g 자리 확정
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 겉보기엔 복잡한 f’g+fg’가 사실은 (fg)’라는 걸 알아채면 1058과 완전히 같은 구조다. f+g와 fg를 적분으로 확보 → fg 인수분해 → 초기조건으로 배정. 이 세 박자가 다항함수 결정 문제의 표준 루틴이다.
실수 포인트 ① : f’g+fg’를 (fg)’로 못 보고 억지로 f’, g’를 따로 구하려다 막히는 실수. 곱의 미분 공식은 양방향으로 외워둬라.
실수 포인트 ② : 인수 (x−1)(x²+2)의 배정을 거꾸로 해 f=x−1, g=x²+2로 두는 실수. f(0)=2를 반드시 확인 — x−1은 0에서 −1이라 f가 될 수 없다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 f(2)−g(2)를 f(2)+g(2)나 g(2)−f(2)로 잘못 계산하는 부호 실수. f(2)=6, g(2)=1 → 6−1=5.
정답 : ④ 5 (f(2)−g(2) = (4+2)−(2−1) = 6−1 = 5)