문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
‘1cm/s씩 수면 상승’ → t초 후 수면 높이 = t cm. 속도가 일정하면 시간만 곱하면 끝난다. 이 t를 직각삼각형의 한 변에 꽂아 수면 반지름 r을 t로 표현하는 것이 목표다.
◀ 일정 속도 × 시간 = 높이, 바로 t로 표기
중심 O에서 수면 가장자리까지가 반지름 10(빗변). 중심에서 수면까지 수직거리는 (10−t), 수평거리가 수면 반지름 r. 피타고라스로 (10−t)²+r²=10² → r²=20t−t². 넓이는 πr²이니 r을 루트로 구하지 말고 r²까지만 뽑고 멈춘다.
◀ 넓이=πr² → 루트 씌우지 말고 r²로 멈춰라
S(t)=π(20t−t²). π는 상수이므로 다항식 (20t−t²)만 미분 → S'(t)=(20−2t)π. 시각 t=5 대입 → S'(5)=10π. 변화율은 도함수에 시각을 대입하는 것이지, 넓이값 S(5)와 헷갈리면 안 된다.
◀ 변화율 = S'(t)에 시각 대입 (넓이값 아님)
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 넓이 변화율은 “넓이 S를 시각 t로 표현 → t로 미분”. S=πr²이므로 r²만 t로 표현하면 끝이다. 반구 문제의 핵심은 중심 O를 빗변 끝으로 하는 직각삼각형에서 피타고라스로 r²를 뽑아내는 것.
실수 포인트 ① : 중심에서 수면까지 수직거리를 t로 잡는 실수. 수면 높이가 t일 뿐, 중심 O 기준 수직거리는 (10−t)다. 삼각형은 바닥이 아니라 중심 O에서 그려야 빗변이 반지름 10이 된다.
실수 포인트 ② : r=√(20t−t²)로 루트를 씌운 뒤 미분해 계산이 꼬이는 실수. 넓이가 πr²이니 r²=20t−t² 그대로 쓰면 다항식이라 미분이 깔끔하다.
실수 포인트 ③ : S'(t)를 구하고 t=5 대입을 잊거나, 변화율을 S(5)(넓이값)로 착각하는 실수. 변화율은 도함수 S’에 시각을 넣는다.
정답 : ② 10π