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조건 (나) |f(x)|가 x=3에서 극댓값 1. 원래 f(x)는 x=3에서 극솟값을 갖고 그 값이 음수여야 절댓값이 뒤집혀 위로 솟는다. 따라서 f(3)=−1(극솟값). ‘|f|의 산봉우리’는 ‘f의 음의 골짜기’를 뒤집은 것이라는 그림을 항상 떠올려라.
◀ |f|가 위로 볼록 극대 → f는 아래로 음의 극소
f(3)=−1이 극소 → f(x)+1이 x=3에서 극솟값 0 = x축과 접함(중근). 세 실근 조건까지 쓰면 f(x)+1=(x−a)(x−3)², 즉 f(x)=(x−a)(x−3)²−1. ‘극값을 상수만큼 올려 접점(중근)으로 만드는’ 이동이 삼차 결정의 최강 스킬이다.
◀ 극값±상수=0 만들면 그 점이 중근(접점)으로 변신
x=3 왼쪽에서 극대인 그림1이면 x=0,1이 모두 증가구간이라 f'(0)>0, f'(1)>0 → 곱이 양수. (다) f'(0)f'(1)=−12(음수)에 위배. 그래서 x=3이 극소인 그림2가 맞다. 정수 조건으로 a=−1 확정 → f(x)=(x+1)(x−3)²−1, f(4)=5·1−1=4.
◀ 부호가 정해진 조건은 개형을 걸러내는 필터다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f|의 극댓값 1이라는 조건을 f의 언어로 바꾸면 f는 x=3에서 극솟값 −1이다(|f|의 봉우리 = f의 음의 골짜기 뒤집기). 여기서 +1을 더해 접점(중근)을 만드는 스킬이 핵심 — f(x)+1=(x−a)(x−3)²로 놓으면 미정계수가 a 하나로 줄어든다. 그림1·그림2 중 어느 개형인지는 (다)의 곱이 음수라는 부호로 가른다.
실수 포인트 ① : |f|극대를 f극대와 혼동하는 실수. 절댓값이 위로 솟으려면 원함수는 음의 극소여야 한다. f(3)=+1이 아니라 f(3)=−1이다.
실수 포인트 ② : 그림1(x=3에서 극대)을 그냥 채택하는 실수. 그림1은 f'(0),f'(1)이 모두 양수라 곱이 양수가 되어 (다) −12와 부호가 안 맞는다. 반드시 (다)로 개형을 걸러야 한다.
실수 포인트 ③ : +α 풀이에서 a=−1 또는 a=−1/2가 나올 때 ‘모든 항의 계수가 정수’라는 조건을 놓치는 실수. a=−1/2는 정수 계수를 깨므로 버리고 a=−1. 따라서 f(4)=64−80+12+8=4.
정답 : 4