문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) |f(x)|가 x=−1에서만 꺾인다 = x=−1이 f(x)=0의 단순근이라는 뜻. 접점(중근)에서는 |f|가 안 꺾이고 매끄럽게 지나간다. ‘절댓값이 한 점에서만 미분불가’ → 그 점은 x축을 뚫고 지나가는 단순근, 나머지 근은 전부 접점(중근)으로 몰아라.
◀ 꺾이는 점=단순근, 안 꺾이는 점=중근(접점)
조건 (나) f(x)=0이 [3,5]에서 실근을 갖는데, (가)는 x=−1 말고는 안 꺾인다고 했다. 즉 [3,5]의 근은 |f|가 안 꺾여야 하니 접점=중근. 접점 x좌표를 α(3≤α≤5)로 두면 f(x)=k(x+1)(x−α)². 두 조건을 인수형 하나로 압축하는 게 첫걸음이다.
◀ 미분가능해야 하는 실근은 반드시 접점(중근)이다
곱셈꼴 f=k(x+1)(x−α)²에서 f’/f = (ln|f|)′ = 1/(x+1) + 2/(x−α). x=0 대입하면 1/1 + 2/(0−α) = 1 − 2/α. 미분·나눗셈 없이 끝난다. 3≤α≤5에서 1−2/α는 증가함수라 α=5에서 최대 3/5, α=3에서 최소 1/3 → Mm=1/5.
◀ 곱/거듭제곱 함수의 f’/f는 로그미분이 압도적으로 빠르다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건을 모두 ‘근의 종류’ 언어로 번역하는 게 핵심이다. (가) ‘x=−1에서만 미분불가’는 x=−1이 단순근(부호 바뀜), 나머지는 접점(중근)이라는 뜻이고, (나) ‘닫힌구간 실근 + 미분가능’은 그 구간에 접점 α(3≤α≤5)가 있다는 뜻이다. 합치면 f(x)=k(x+1)(x−α)². 남은 건 f'(0)/f(0)을 α의 식으로 만드는 것뿐인데, 로그미분(f’/f=1/(x+1)+2/(x−α))으로 쪼개면 x=0 대입에서 곧바로 1−2/α가 나온다.
실수 포인트 ① : x=−1을 중근(접점)으로, α를 단순근으로 거꾸로 잡는 실수. ‘꺾이는 점=단순근, 안 꺾이는 점=중근’을 반드시 외워둬라.
실수 포인트 ② : k가 남아 답이 k에 따라 달라질까 걱정하는 실수. f’/f는 비율이라 k가 약분되어 사라진다. 계수 k는 신경 쓸 필요 없다.
실수 포인트 ③ : 1−2/α의 최대·최소를 α 범위 끝에서 안 찾고 대충 잡는 실수. 1−2/α는 α에 대해 증가하므로 최대는 α=5(3/5), 최소는 α=3(1/3). Mm=3/5 × 1/3 = 1/5.
정답 : ⑤ (Mm=1/5)