문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
절댓값 함수가 어떤 점에서 미분가능하려면 그 점이 접점(이중근)이어야 한다. g가 x=a에서 매끄럽다 = (x−a)f(x)가 x=a를 중근으로 가짐 = f(a)=0. 즉 f(x)는 (x−a)를 인수로 품는다. ‘미분가능한 근=중근’이라는 절댓값 미분판정을 반사적으로 써라.
◀ 절댓값이 안 꺾이는 근=이중근, 꺾이는 근=단순근
g가 x=3에서만 꺾인다 = x=3이 (x−a)f(x)의 단순근(부호변화). f는 최고차 1 이차이고 이미 (x−a) 인수를 가졌으니 f(x)=(x−a)(x−3). 그러면 (x−a)f(x)=(x−a)²(x−3)로, x=a는 중근(안 꺾임)·x=3은 단순근(꺾임)이 딱 맞는다.
◀ ‘한 점에서만 미분불가’가 f의 인수를 완성한다
g=|h|, h(x)=(x−a)²(x−3). |h|가 위로 솟은 극대 32 = h의 극솟값 −32. h'(x)=(x−a)(3x−a−6)에서 극소점 x=(a+6)/3, 극솟값 (4/27)(a−3)³=−32 → (a−3)³=−216 → a=−3. f(x)=(x+3)(x−3), f(4)=7.
◀ 절댓값 극대 = 원함수 극소의 절댓값, 부호까지 챙겨라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 미분가능성 정보를 근의 종류로 번역한다. x=a에서 미분가능 → x=a는 이중근 → f가 (x−a)인수를 가짐. x=3에서만 미분불가 → x=3은 단순근 → f(x)=(x−a)(x−3)으로 확정. 그러면 (x−a)f(x)=(x−a)²(x−3)이 되어 접점(x=a)·꺾임(x=3) 구조가 정확히 맞는다. 마지막으로 |h|의 극대 32 = h의 극소 −32로 방정식을 세워 a를 구한다.
실수 포인트 ① : x=a와 x=3의 역할을 바꿔 잡는 실수. 미분가능한 점이 이중근(x=a), 미분불가능한 점이 단순근(x=3)이다. ‘a<3’이라는 조건도 개형 판단에 함께 써라.
실수 포인트 ② : 극댓값 32를 h의 극댓값으로 오해하는 실수. 절댓값이 위로 솟은 값이므로 h에서는 극솟값 −32다. 부호를 −로 챙겨야 (a−3)³=−216이 나온다.
실수 포인트 ③ : 극솟값 계산에서 극소점 x=(a+6)/3 대입을 틀리는 실수. h((a+6)/3)=((−2a+6)/3)²·((a−3)/3)=(4/27)(a−3)³. (a−3)³=−216 → a−3=−6 → a=−3. 따라서 f(4)=(4+3)(4−3)=7.
정답 : ① (f(4)=7)