문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가)에서 xg(x)=|xf(x−p)+qx|=|x{f(x−p)+q}|=|x||f(x−p)+q|. 양변을 x로 나누면 x>0일 땐 g(x)=|f(x−p)+q|, x<0일 땐 g(x)=−|f(x−p)+q|가 된다. 절댓값 안에 x가 통째로 곱해져 있으면 |x|로 뽑아내는 순간 g가 x의 부호를 기준으로 위·아래 두 조각으로 갈라진다.
◀ 절댓값 안의 x는 |x|로 뽑아 밖으로 빼는 게 첫 관문
x=0을 경계로 위(|…|)·아래(−|…|)로 갈라진 g가 x=0에서 연속이려면 두 조각의 극한이 같아야 한다. |f(−p)+q|=−|f(−p)+q|에서 f(−p)+q=0, 즉 g(0)=0이 되어 y=f(x−p)+q의 그래프가 원점을 지나야 한다. ‘연속’이라는 단어를 g(0)=0이라는 방정식으로 번역하는 습관을 들여라.
◀ 문제에 박힌 ‘연속함수’ 한 단어가 원점 통과를 강제한다
y=|f(x−p)+q|는 삼차 f를 오른쪽으로 p·위로 q 옮긴 뒤 x축 아래를 접어올린 모양이라, 접히는 지점마다 뾰족점(미분불가)이 생긴다. 미분불가점이 1개가 되려면 평행이동한 삼차의 극값이 x축에 정확히 닿아 접힘이 한 번만 일어나야 한다. 극대점 (−1, −7)을 원점으로 옮기면 p=1, q=7, 극소점 (3, −39)를 옮기면 p=−3, q=39. 두 양수 조건 때문에 극대점 쪽만 살아남는다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 절댓값 |xf(x−p)+qx|를 |x||f(x−p)+q|로 분해해 g를 x의 부호별 두 조각으로 나누는 것이다. ‘연속함수 g’라는 조건이 g(0)=0(원점 통과)을 강제하고, ‘미분불가점 1개’라는 조건이 극대·극소 중 어느 것을 원점에 얹을지 결정한다. 삼차함수 f의 극대 (−1, −7)·극소 (3, −39)를 먼저 구해두면 평행이동만으로 답이 나온다.
실수 포인트 ① : 절댓값 안에서 |x|를 뽑지 못하고 |xf(x−p)+qx| 상태로 붙잡고 있는 실수. xf(x−p)+qx=x{f(x−p)+q}로 x를 공통인수로 묶는 게 모든 풀이의 시작이다.
실수 포인트 ② : p, q가 모두 양수라는 조건을 흘려 극소점을 원점에 얹는 경우(p=−3, q=39)까지 답으로 남기는 실수. 양수 조건이 극대점(p=1, q=7)만 남긴다.
실수 포인트 ③ : 평행이동 방향·부호 실수. 극대점 (−1, −7)을 원점으로 옮기려면 x축으로 +1, y축으로 +7 → p=1, q=7. 부호를 반대로 잡으면 전부 어긋난다.
정답 : ③ (p+q=1+7=8)