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임의의 두 점에서 x의 증감과 f의 증감 부호가 항상 같다는 뜻은 곧 f가 실수 전체에서 증가한다는 것이다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 f'(x)≥0이어야 하고, f'(x)=0이 되는 점이 있어도 그건 극값이 아니라 접선이 x축에 닿는 변곡점이다. 이 부등식을 보면 해석하지 말고 바로 ‘순증가’로 도장을 찍어라.
◀ 이 부등식 = 순증가함수, 외워두면 해석 0초
순증가 삼차에서 f'(3)=0이면 x=3은 f'의 중근, 즉 그래프의 변곡점이면서 접선이 수평인 지점이다. 이런 삼차는 반드시 f(x)=a(x−3)³+b (a>0) 꼴이다. 미지수가 a, b 단 둘로 줄어든다. ‘증가 + f'=0인 점’을 보면 그 점을 세제곱의 중심으로 삼아 (x−점)³으로 세워라.
◀ 미지수를 a, b 둘로 줄이는 핵심 스킬
절댓값 함수의 미분불가점은 안쪽 함수가 0이 되며 부호가 바뀌는(x축을 뚫는) 지점에서 생긴다. |f(x)−4|가 x=2에서 미분불가라는 건 f(x)−4=0, 즉 f(2)=4라는 뜻이다. 순증가함수라 f=4가 되는 x는 오직 하나뿐이니 그게 x=2다. 안쪽 상수 4를 빠뜨리지 말고 f(2)=4로 옮겨라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 조건이 각각 한 조각씩 정보를 준다. (가)+(나)로 함수꼴이 f(x)=a(x−3)³+b로 확정되고, (다)로 f(2)=4, 여기에 f(4)=6을 더해 a, b를 연립으로 구한다. 순증가라 극값이 없다는 점이 전체 그림을 단순하게 만든다.
실수 포인트 ① : (다)를 f(2)=0으로 오해하는 실수. 절댓값 안은 f(x)−4이므로 f(2)−4=0, 즉 f(2)=4다. 안쪽 상수 4를 놓치면 a, b가 통째로 틀어진다.
실수 포인트 ② : 미분불가점 x=2를 극값으로 착각하는 실수. 이 함수는 순증가라 극대·극소가 아예 없다. 미분불가는 오직 절댓값이 접히며 생긴 뾰족점이다.
실수 포인트 ③ : f'(x)=3a(x−3)²에 a=1을 넣어 f'(2)=3·1·(2−3)²=3·1·1=3인데, (2−3)²=1을 −1로 잘못 두거나 계수 3을 빠뜨리는 실수. 답은 3이다.
정답 : 3