문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
절댓값 함수의 미분불가점은 안쪽이 단순근(x축을 기울기 있게 뚫는 점)일 때만 생긴다. |f(x)−f(1)|이 오직 x=a에서만 미분불가하려면, y=f(x)와 y=f(1)의 또 다른 교점 x=1에서는 뾰족점이 생기면 안 된다. 그러려면 x=1은 삼중근이어야 한다(기울기 0으로 매끄럽게 통과). 결국 f(x)−f(1)=k(x−1)³(x−a) 꼴로 세워진다.
◀ 미분불가 1개 = 단순근 1개 + 나머지는 삼중근
f(x)−f(1)=k(x−1)³(x−a)를 미분하면 f'(x)=k(x−1)²{3(x−a)+(x−1)}=k(x−1)²(4x−3a−1). 조건 (가)의 x=2 극값에서 f'(2)=0이고 (2−1)²≠0이니 4·2−3a−1=0 → a=7/3. 이걸 다시 넣으면 4x−3a−1=4x−8=4(x−2), 즉 f'(x)=4k(x−1)²(x−2). 곱미분한 뒤 (x−1)² 공통인수로 묶는 정리가 핵심이다.
◀ 곱미분 후 (x−1)²로 묶어야 식이 깔끔해진다
f'(x)=4k(x−1)²(x−2)에서 f'(5)/f'(3)={4k·(5−1)²·(5−2)}/{4k·(3−1)²·(3−2)}. 분모·분자의 4k가 통째로 약분되니 k를 굳이 구할 필요가 없다. 남는 건 (4²·3)/(2²·1)=48/4=12. ‘비율을 구하라’는 문제는 공통계수를 소거하는 게 정석이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f(x)−f(1)|의 미분불가점이 1개라는 조건 하나가 인수분해 꼴 f(x)−f(1)=k(x−1)³(x−a)를 통째로 준다. 여기에 x=2 극값(f'(2)=0)으로 a=7/3을 확정하면 f'(x)=4k(x−1)²(x−2). 마지막은 비율이라 k가 소거된다. 미지수를 끝까지 안 구하고도 답이 나오는 구조를 먼저 읽어라.
실수 포인트 ① : x=1을 단순근이나 이중근으로 잡는 실수. 미분불가점을 x=a 하나로 만들려면 x=1의 중복도를 3으로 몰아야 한다. 사차이므로 3+1로 딱 맞아떨어진다.
실수 포인트 ② : f'(x)를 곱미분한 뒤 정리를 못 해 a를 못 구하는 실수. (x−1)²로 묶어 3(x−a)+(x−1)=4x−3a−1로 정리한 다음 x=2를 대입해야 4·2−3a−1=0 → a=7/3이 나온다.
실수 포인트 ③ : f'(5)/f'(3)에서 k를 구하려고 붙잡는 실수. 비율이라 4k는 약분된다. (5−1)²(5−2)=16·3=48, (3−1)²(3−2)=4·1=4, 48/4=12이다.
정답 : ③ (f'(5)/f'(3)=12)