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(가) limx→0(f(x)−3)/x=0에서 분모→0인데 극한이 존재하므로 분자→0 → f(0)=3. 게다가 이 꼴은 (f(x)−f(0))/(x−0), 즉 미분계수 f'(0)의 정의다. 극한값이 0이니 f'(0)=0 → x=0에서 극값(극댓값 3). 이 한 줄에서 f(0)과 f'(0)을 동시에 뽑아라.
◀ (f(x)−f(a))/(x−a) 꼴은 곧 미분계수의 정의
(나) y=f(x)와 y=−1의 교점이 2개. 삼차함수와 수평선의 교점이 딱 2개면 한 점에서 접해야 한다. 극댓값 3(위)과 직선 y=−1(아래)를 그리면 y=−1은 극솟값 자리에 접한다 → 극솟값=−1. ‘교점 개수’는 항상 ‘극값과 직선 높이의 대소·접함’으로 번역하라.
◀ 교점 2개 = 직선이 극값에 접함
최고차 1, x=0에서 극댓 3, 다른 곳에서 극솟 −1. f'(0)=0에서 b=0, f'(x)=3x²+2ax의 다른 근 x=−2a/3에 극솟값 −1을 대입하면 a=−3 → f(x)=x³−3x²+3. (극값차 4를 비율관계로 써도 즉시.) f(4)=64−48+3=19.
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가)의 0/0꼴 극한 한 줄에서 f(0)=3과 f'(0)=0을 동시에 뽑는 게 핵심이다. (f(x)−f(0))/(x−0)→f'(0)이므로 극한값 0은 x=0이 극값 자리(극댓값 3)라는 뜻. (나) ‘교점 2개’는 직선 y=−1이 극솟값에 접한다는 뜻 → 극솟값 −1. 극댓 3·극솟 −1이 정해지면 f(x)=x³−3x²+3.
실수 포인트 ① : (가)에서 분자를 0으로 만드는 것(f(0)=3)까지만 하고 극한값이 f'(0)=0인 정보를 놓치는 실수. 이 꼴은 미분계수의 정의라 x=0이 극값이라는 사실이 숨어 있다.
실수 포인트 ② : (나) 교점 2개를 ‘서로 다른 두 점에서 그냥 만난다’로 오해하는 실수. 삼차함수와 수평선의 교점이 딱 2개면 반드시 한 점에서 접해야 하고, 그 접점이 극솟값 −1이다.
실수 포인트 ③ : 극점 x=−2a/3에 대입해 a를 구할 때 부호·세제곱 계산을 틀리는 실수. a=−3, f(x)=x³−3x²+3, f(4)=64−48+3=19. (비율관계로 극값차 4를 써도 동일하다.)
정답 : 19