문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g=|f|가 미분 안 되는 곳은 f(x)=0이면서 f'(x)≠0인 곳, 즉 x축을 뚫고 지나가는(관통) 교점이다. x축에 닿기만 하는(접하는) 점은 미분가능하다. 그러니 미분불가점 개수는 f의 그래프가 x축을 몇 번 관통하느냐만 세면 끝난다.
◀ 접점=미분가능, 관통점=미분불가
f'(x)=4(x+1)(x−1)(x−3)이라 극소 f(−1)=f(3)=a−9, 극대 f(1)=a+7. 위로 열린 사차함수라 두 극소는 아래·가운데 극대는 위. 극값이 x축 위냐 아래냐가 관통 횟수를 정하고, a를 움직이면 그래프가 통째로 위아래로 오르내린다.
◀ 극값의 부호 = 그래프 상하 위치 = 관통 횟수
극대 f(1)=a+7이 0 이하면 가운데 봉우리까지 전부 x축 아래로 잠기고, 그래프는 좌·우 딱 두 곳에서만 x축을 관통한다 → 미분불가 2개. 즉 a+7≤0에서 a≤−7이므로 a의 최댓값은 −7. (f(1)>0이면 4개, f(−1)≥0이면 0개)
◀ f(1)=a+7≤0 ⟹ a≤−7 ⟹ 최댓값 −7
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f|의 미분불가점은 ‘f=0 & f’≠0’ 즉 x축을 관통하는 교점뿐이다. 그러니 문제를 ‘그래프가 x축을 몇 번 관통하는가’로 번역한다. 사차함수 증감표로 극대·극소를 a로 표현하면, 관통 횟수를 2개로 맞추는 조건이 자연스럽게 나온다.
실수 포인트 ① : 극소점(x축에 접하는 자리)까지 미분불가라 착각하는 실수. 접점은 미분가능이다.
실수 포인트 ② : 개수를 극소로 조절하려는 실수. 미분불가점 개수를 지배하는 건 가운데 극대 f(1)의 부호다.
실수 포인트 ③ : 부등호 방향을 뒤집어 최솟값을 답하는 실수. a≤−7이므로 구하는 건 최댓값 −7.
정답 : ② (a=−7)