문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(가) x=0에서 x축에 접한다는 건 단순 통과가 아니라 x=0이 f(x)=0의 중근이라는 뜻이다. 그래서 f(x)는 x² 인수를 가지고 f(x)=x²(ax+b)로 쓸 수 있다. 미지수가 a, b 둘로 확 줄어든다. ‘접한다’를 보면 반사적으로 (x−접점)² 인수를 꺼내라.
◀ 접점 = 중근 = 제곱 인수
(나)는 접선 정보 하나지만 방정식은 두 개다. ① 점 (−2)에서 기울기가 1 → f'(−2)=1. ② 그 접선이 (2, f(2))를 지남 → 접선식에 x=2 대입. 미지수 a, b 두 개를 이 두 식으로 잡는다. 접선 문제는 언제나 ‘미분값=기울기’와 ‘점 대입’의 두 갈래로 분해된다.
◀ 접선 조건 = 기울기식 + 통과점식
두 방정식을 풀면 a=1/4, b=1/2 → f(x)=¼x³+½x². 이제 f(6)=¼·216+½·36=54+18=72. 조건에서 함수 식을 완성하는 게 이 문제의 90%이고, 마지막 대입은 산수다. 식만 정확히 세우면 틀릴 곳이 없다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가) ‘x=0에서 x축에 접한다’를 x² 인수로 번역해 f(x)=x²(ax+b)로 미지수를 2개로 줄이는 것이 시작이다. 나머지는 접선 조건 (나) 하나에서 두 방정식(기울기 f'(−2)=1, 접선이 (2, f(2)) 통과)을 뽑아 a, b를 확정한다. 식이 완성되면 f(6)은 대입으로 끝.
실수 포인트 ① : (가)를 f(0)=0 하나로만 쓰고 멈추는 실수. x축에 ‘접한다’는 건 단순 통과가 아니라 중근, 즉 x² 인수까지 의미한다. 인수 조건을 놓치면 미지수가 줄지 않는다.
실수 포인트 ② : 접선이 ‘지나는 점’을 접점 (−2)로 착각해 엉뚱한 대입을 하는 실수. 접선은 (−2)에서 접하고 (2, f(2))를 지난다. 대입할 통과점은 x=2다.
실수 포인트 ③ : a=1/4을 ①(12a−4b=1)에 넣을 때 12·¼=3 계산을 놓쳐 b를 틀리는 실수. 3−4b=1 → b=1/2. 따라서 f(6)=54+18=72.
정답 : 72