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삼차함수를 미분하면 도함수 f’은 이차함수(아래로/위로 볼록한 포물선)다. f'(−3)=f'(3)처럼 값이 같은 두 점이 주어지면, 그 포물선의 축은 정확히 두 점의 한가운데 x=0. 즉 f’은 y축 대칭이고 f'(x)=3a(x²−k) 꼴이 된다. 계수를 세우기 전에 이 ‘대칭’부터 읽어라.
◀ 값이 같은 두 점의 중점이 곧 포물선의 축
f’이 x=0 대칭이고 (가)에서 f'(−2)=0(극대)이면, 대칭성 때문에 f'(2)=0도 공짜로 따라온다. 그래서 f'(x)=3a(x+2)(x−2)=3a(x²−4). x=−2가 극대이므로 그래프는 증가→감소→증가, 즉 a>0이고 x=2가 극소다. 근 하나만 알면 대칭이 나머지를 준다.
◀ 대칭축 하나면 반대쪽 극점은 계산 없이 나온다
ㄴ) y=f(2)는 극솟값 높이의 수평선이라 극소점에서 접하고 반대편에서 한 번 더 만나 교점 2개=서로 다른 두 실근. ㄷ) f(x)=ax³−12ax+d로 두고 (−1)에서의 접선식 y=−9ax+2a+d에 x=2를 넣으면 −16a+d=f(2)로 정확히 일치. 극값·접선 보기는 그림+대입 두 방망이로 판정한다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 열쇠는 조건 (나) f'(−3)=f'(3)을 계수 방정식으로 힘들게 풀지 말고 ‘도함수의 대칭’으로 읽는 것이다. f’은 이차함수라 값이 같은 두 점의 중점이 축 → 축은 x=0. 그러면 (가)의 극점 x=−2와 대칭인 x=2가 자동으로 다른 극점이 되어 f'(x)=3a(x²−4)가 거의 계산 없이 나온다. 나머지 보기는 증감표(x=−2 극대, x=2 극소)만 그리면 전부 판정된다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 y=f(2)를 극댓값 근처 선으로 착각하는 실수. x=2는 극소점이므로 수평선 y=f(2)는 극솟값에서 접한다. 극소에서 접하는 수평선은 접점 1개 + 반대편 1개 = 서로 다른 두 실근. 참.
실수 포인트 ② : ㄷ을 그림으로 대충 넘기는 실수. f'(−1)=−9a, 접선식 y=−9ax+2a+d에 x=2를 대입해 −16a+d를 얻고 f(2)=−16a+d와 같음을 확인해야 확실하다. 참.
실수 포인트 ③ : ㄱ에서 a의 부호를 안 따지는 실수. x=−2가 극대 → a>0 → f'(x)=3a(x²−4)는 아래로 볼록 → x=0에서 최소. 참. 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)