문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)에 더해진 k는 그래프를 위아래로만 움직인다. 어느 높이에 올려도 x축과 딱 한 점에서만 만나려면 그래프에 산(극대)과 골(극소)이 없어야 한다. 극대·극소가 있으면 k를 조절해 x축에 두 번·세 번 걸치게 만들 수 있기 때문. 그래서 조건은 극값이 없음 하나로 번역된다.
◀ ‘k에 관계없이 x축과 한 번’은 곧 극값 없음의 신호
f'(x)=x²+2ax+1. 극대·극소가 생기려면 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 반대로 극값이 없으려면 중근이거나 허근 → 판별식 D≤0. D/4=a²−1≤0. 부등호에 등호가 붙는 게 포인트: 중근이면 접하기만 하고 극값이 안 생긴다.
◀ 극값 유무는 f'=0의 판별식이 결정한다
a²−1≤0 → (a−1)(a+1)≤0 → −1≤a≤1. 곱이 0 이하인 구간은 두 근 −1과 1 사이다. 이 닫힌구간의 정수는 −1, 0, 1로 3개. 등호가 있으니 양 끝 −1, 1도 반드시 포함한다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 상수 k는 그래프를 세로로만 옮긴다. ‘실수 k의 값에 관계없이 x축과 한 번만 만난다’는 건 어느 높이에 놓아도 교점이 1개 = 그래프가 순증가라 극값이 없다는 뜻. 삼차함수에서 극값이 없을 조건은 f'(x)=0의 판별식 D≤0 하나로 끝난다.
실수 포인트 ① : D<0(허근)만 생각하고 중근(D=0)을 빠뜨려 −1<a<1로 답하는 실수. 중근이면 f'(x)≥0으로 순증가라 극값이 없다. 등호 포함 −1≤a≤1이 맞다.
실수 포인트 ② : 판별식을 D=4a²−4로 둔 뒤 4로 나누는 걸 잊는 실수. D/4=a²−1로 처리하면 깔끔하다.
실수 포인트 ③ : −1≤a≤1의 정수를 셀 때 0을 빠뜨려 2개로 답하는 실수. −1, 0, 1 → 3개다.
정답 : ③ (3개)