문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x→∞에서 f(x)/x³이 0이 아닌 유한값 1로 수렴하니 f(x)는 3차이고 최고차 계수는 극한값 그대로 1이다. 곧 f(x)=x³+ax²+bx+c. 차수와 최고차 계수를 극한 한 줄로 못 박고 시작한다.
◀ xⁿ으로 나눈 극한값 = 최고차항 계수 (n차 확정)
극값의 x좌표를 주면 그건 f′(x)의 근을 준 것이다. f′(x)는 최고차 계수 3(3차 함수의 미분)인 이차식이고 근이 −1, 2이므로 f′(x)=3(x+1)(x−2)=3x²−3x−6. a, b를 연립할 필요도 없이 도함수가 즉석에서 완성된다.
◀ 극점의 x좌표 = 도함수의 근, 인수분해형으로 바로 직조
이 꼴은 중앙차분이다. f(3−h) 항을 −h로 정의에 맞춰 쪼개면 f′(3)+f′(3)=2f′(3). f(x)를 다 복원할 필요 없이 f′(3)만 계산하면 된다. f′(3)=3·9−3·3−6=12 → 답 24.
◀ [f(a+h)−f(a−h)]/h → 2f′(a), 외워두면 3초 컷
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가)의 lim f(x)/x³=1은 '3차, 최고차 계수 1'을 한 줄로 확정한다. (나)의 극값 위치는 f′(x)의 근을 준 것이므로 f′(x)=3(x+1)(x−2)로 도함수를 통째로 세운다. 마지막 극한은 실제 함수 복원 없이 대칭차분 공식 2f′(3)으로 직행하는 게 핵심이다.
실수 포인트 ① : f′(x)의 최고차 계수를 1로 두는 실수. 원함수가 3차라 미분하면 최고차 계수는 3이다(f′(x)=3(x+1)(x−2)).
실수 포인트 ② : 대칭차분을 f′(3)−f′(3)=0으로 착각하는 실수. f(3−h) 앞의 부호와 −h를 정확히 처리하면 f′(3)+f′(3)=2f′(3)이 된다.
실수 포인트 ③ : a, b, c까지 다 구하려고 시간을 쓰는 실수. 필요한 건 f′(3)뿐이라 도함수만 있으면 끝난다.
정답 : 24