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좌변을 삼차함수 f(x)=2x³+ax²+6x−3, 우변을 위아래로 움직이는 수평선 y=t로 분리하라. 방정식 2x³+ax²+6x−3=t의 서로 다른 실근 개수 g(t)는 곧 y=f(x)와 직선 y=t의 교점 개수다. t를 움직이며 교점을 세는 그림을 머릿속에 그려라.
◀ ‘=t’ 방정식은 항상 ‘함수 vs 수평선 y=t’ 교점으로 번역하라
f(x)에 극대·극소가 있으면 t가 그 극값을 지나는 순간 교점이 1→3개로 튀어 g(t)가 불연속이 된다. g(t)가 실수 전체에서 연속이려면 어떤 t에서도 교점이 항상 1개, 즉 g(t)≡1인 상수함수여야 하고, 이는 f(x)가 극값 없이 계속 증가해야 함을 뜻한다.
◀ ‘g(t) 연속’ = ‘삼차함수 f(x)가 실수 전체에서 증가’
f'(x)=6x²+2ax+6≥0이 모든 x에서 성립해야 한다. 최고차 계수 6>0이라 아래로 볼록이므로, x축 밑으로 내려가지 않으려면 실근이 없거나 중근, 즉 D≤0. D/4=a²−36≤0 → −6≤a≤6. 그래서 M=6, m=−6.
◀ 최댓·최솟값 문제의 답은 부등식 구간의 양 끝값
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘실근의 개수’가 보이면 반사적으로 y=f(x)와 직선 y=t의 교점으로 분리하라. g(t)가 연속이라는 건 ‘교점 개수가 t에 따라 튀지 않는다’는 뜻이고, 삼차함수에서 이게 성립하는 유일한 경우는 극값이 아예 없어 g(t)≡1인 상수함수가 될 때다. 즉 조건은 곧 ‘f(x)가 증가함수’로 번역된다.
실수 포인트 ① : g(t)를 ‘t의 값’으로 오해하는 실수. g(t)는 실근의 개수(1 또는 3)라는 자연수값 함수다.
실수 포인트 ② : 판별식에서 D<0(허근)만 챙기고 D=0(중근)을 빼먹는 실수. f'(x)=0이 중근이어도 f'(x)≥0은 유지되므로 D≤0(등호 포함)이 맞다. 등호를 빼면 a=±6이 답에서 누락된다.
실수 포인트 ③ : M−m을 6−6=0으로 계산하는 실수. m=−6이므로 M−m=6−(−6)=12. 음수 빼기 부호에 주의하라.
정답 : M−m=12