문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
이 함수는 x=−1에서 감소하다 증가로 바뀐다. 미분가능한 함수가 감소→증가로 꺾이는 점은 극소라서 그 점의 미분계수가 0이다. x=−1은 x<0 조각에 속하니 그 식 f′(x)=−x²−2ax−b에 대입. f′(−1)=−1+2a−b=0 → b=2a−1. 경계점이 어느 조각에 속하는지 먼저 확인하는 게 첫 단추다.
◀ 감소하다 증가로 바뀌는 매끄러운 점 = 극소 = f′=0
f′(x)=−(x+a)²+(a²−b) (x<0), (x+a)²−(a²−b) (x>0)로 정리하면 두 조각 대칭축이 모두 x=−a다. 구간증감 문제는 결국 이 대칭축이 −1보다 왼쪽인지·일치하는지·오른쪽인지의 싸움. 대칭축 −a의 위치로 경우 (i)−1<−a<0, (ii)−a=0, (iii)−a>0을 나눠라.
◀ 구간증감 문제는 도함수 그래프의 대칭축 위치 싸움이다
경계 x=0에서 −b≥0(즉 b≤0) 같은 부호조건을 빠뜨리면 a의 범위가 열려버린다. 세 경우를 합치면 −1−√2 ≤ a ≤ 1/2. a+b=a+(2a−1)=3a−1이므로 양끝만 대입: a=1/2→M=1/2, a=−1−√2→m=−4−3√2. M−m=1/2−(−4−3√2)=9/2+3√2.
◀ 부호조건을 빠뜨리면 범위가 한쪽으로 새어버린다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 경계점 x=−1이 ‘감소→증가’로 꺾이는 극소점이라는 데서 출발한다. 미분가능하므로 f′(−1)=0 → b=2a−1로 문자 하나를 소거. 그 다음 도함수를 완전제곱으로 바꾸면 두 조각의 대칭축이 x=−a로 같아지고, 이 대칭축을 −1 기준으로 좌·중·우 세 경우로 나눠 a의 범위를 닫는 게 뼈대다. 마지막은 a+b=3a−1의 양끝값 대입.
실수 포인트 ① : x=−1을 x≥0 조각에 대입하는 실수. x=−1<0이므로 −x²−2ax−b 식을 써야 한다.
실수 포인트 ② : 대칭축 경우를 나눌 때 경계 x=0에서의 부호조건(−b≥0)을 빠뜨려 범위가 열리는 실수.
실수 포인트 ③ : (iii)에서 a²+2a−1≤0의 근을 근의 공식으로 구할 때 −1±√2의 부호를 놓치는 실수. −1−√2 ≤ a < 0이 맞다.
실수 포인트 ④ : M−m을 계산할 때 m이 음수라 부호를 실수. M−m=1/2−(−4−3√2)=9/2+3√2.
정답 : ③ (M−m=9/2+3√2)