문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=x²에서 y′=2x이므로 P(t,t²)에서 접선 l의 기울기는 2t. 접선에 수직인 직선 m(법선)의 기울기는 두 직선이 수직이면 기울기 곱이 −1이라는 규칙으로 −1/(2t). 접선과 법선은 항상 기울기가 역수·부호반전 관계다.
◀ 접선 2t, 법선 −1/(2t) (곱하면 −1)
l : y=2tx−t². x절편은 y=0 → 0=2tx−t² → x=t/2, 즉 f(t)=t/2. m : y=−1/(2t)x+1/2+t². y절편은 x=0 → y=1/2+t², 즉 g(t)=1/2+t². 절편만 필요하면 직선 전체를 안 풀고 0을 대입하면 끝난다.
◀ f(t)=t/2, g(t)=1/2+t²
g(t)/(t·f(t)) = (t²+1/2)/(t·(t/2)) = (t²+1/2)/(t²/2) = (2t²+1)/t². 분모·분자를 t²로 나누면 (2+1/t²) → t→∞에서 1/t²→0이므로 2. 최고차항끼리의 계수비(2t²:t²=2:1)가 곧 극한값이다.
◀ 최고차항 비 2t²/t² = 2
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 접선과 법선을 세우고 각각의 절편을 f(t), g(t)로 만든 뒤 극한을 계산하는 구조다. 핵심은 절편은 대입이라는 것 — x절편은 y=0, y절편은 x=0만 넣으면 나온다. 직선을 다 그릴 필요가 없다.
실수 포인트 ① : 법선 기울기를 −2t로 잘못 쓰는 실수. 수직이면 역수를 취하고 부호까지 바꿔 −1/(2t)다.
실수 포인트 ② : x절편(l)과 y절편(m)을 헷갈려 반대로 대입하는 실수. l은 x절편(y=0), m은 y절편(x=0)이다.
실수 포인트 ③ : 분모를 t·f(t)=t·(t/2)=t²/2로 만들지 않고 f(t)만 분모에 두는 실수. 문제의 분모는 t와 f(t)의 곱이다.
정답 : ② (극한값 2)