문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=x³+1, f′(x)=3x². P(t,t³+1)에서 접선 기울기 3t². 접선 y=3t²x−2t³+1에 x=0 → Q(0, −2t³+1). 법선 기울기 −1/(3t²), 법선 y=−1/(3t²)x+1/(3t)+t³+1에 x=0 → R(0, 1/(3t)+t³+1). y축과 만나는 점은 언제나 x=0 대입이다.
◀ Q_y=−2t³+1, R_y=1/(3t)+t³+1
Q, R이 둘 다 y축 위에 있으니 QR을 밑변으로 잡으면 QR=|R_y−Q_y|=(1/(3t)+t³+1)−(−2t³+1)=1/(3t)+3t³. 이 밑변에 대한 높이는 P에서 y축까지의 수평거리, 곧 P의 x좌표 t. 밑변을 y축에 놓으면 높이가 x좌표로 딱 떨어진다.
◀ QR=1/(3t)+3t³, 높이=t
S(t)=½·(1/(3t)+3t³)·t=½·(1/3+3t⁴)=1/6+(3/2)t⁴. t→0+에서 t⁴→0이므로 극한은 1/6. 곱하는 순간 1/(3t)·t=1/3로 t가 약분되어 상수만 남고, 나머지 고차항은 0으로 죽는 게 포인트다.
◀ S(t)=1/6+(3/2)t⁴ → 극한 1/6
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : y축과 만나는 두 점 Q, R을 밑변으로 삼는 게 핵심이다. Q, R은 접선·법선의 y절편이니 x=0만 대입하면 되고, 밑변을 y축에 놓았으므로 높이는 자동으로 P의 x좌표 t가 된다. 넓이식을 세운 뒤 t→0+ 극한만 취하면 끝.
실수 포인트 ① : QR을 구할 때 Q_y=−2t³+1의 부호를 놓쳐 −(−2t³)=+2t³을 빠뜨리는 실수. R_y−Q_y를 끝까지 부호대로 계산하라.
실수 포인트 ② : 높이를 t가 아닌 다른 값으로 잡는 실수. 밑변이 y축 위에 있으면 높이는 반드시 그 점의 x좌표(=t)다.
실수 포인트 ③ : S(t)=1/6+(3/2)t⁴에서 t→0+일 때 0으로 착각하는 실수. 약분으로 살아남은 상수 1/6이 극한값이다.
정답 : ① (극한값 1/6)