문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→0(f(x)−g(x))/x=2에서 분모 x→0인데 유한한 극한값 2가 존재하니 분자도 0으로 가야 한다 → f(0)−g(0)=0. 같은 논리로 (f(x)+g(x)−6)/x에서 f(0)+g(0)−6=0. 이 ‘분자→0’ 강제 조건이 함숫값을 공짜로 준다. 연립하면 f(0)=g(0)=3.
◀ 유한 극한 + 분모0 = 분자0, 함숫값 뽑아내는 1번 스킬
f(0)=g(0)=3을 이용하면 (f(x)−g(x))/x = {(f(x)−f(0))−(g(x)−g(0))}/x → f'(0)−g'(0). 즉 주어진 극한 2, 8이 곧 f'(0)−g'(0)=2, f'(0)+g'(0)=8이다. lim(f(x)−f(0))/x=f'(0)이라는 미분계수 정의를 ‘분자에서 f(0)을 빼서 만들어내는’ 게 핵심.
◀ (□(x)−□(0))/x 꼴만 만들면 극한값 = 미분계수
f'(0)−g'(0)=2, f'(0)+g'(0)=8 연립 → f'(0)=5, g'(0)=3. h(x)=f(x)g(x)이므로 곱의 미분법 h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). 따라서 h'(0)=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)=5·3+3·3=24. 함숫값 4개(f(0), g(0), f'(0), g'(0))만 모으면 h'(0)은 대입 한 줄이다.
◀ h'(0) 재료 = f(0), g(0), f'(0), g'(0) 딱 4개
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘분수꼴 극한이 존재하고 분모가 0으로 간다’는 조건을 보면 조건반사로 분자→0을 적어 함숫값부터 확정한다. 그다음 분자에 f(0), g(0)을 끼워 넣어 (f(x)−f(0))/x 꼴을 만들면 극한값이 그대로 미분계수가 되고, 두 식을 연립해 f'(0), g'(0)까지 얻는다. 마지막은 곱의 미분법에 재료 4개를 대입하는 산수뿐이다.
실수 포인트 ① : 분자→0 단계를 건너뛰고 바로 미분계수로 넘어가 f(0), g(0)을 놓치는 실수. 이 함숫값이 없으면 마지막 h'(0)=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)의 g(0), f(0) 자리를 못 채운다.
실수 포인트 ② : h'(0)을 f'(0)g'(0)으로 착각하는 실수. 곱의 미분은 f’g+fg’, 미분끼리 곱하는 게 아니다. 5·3(=f'(0)g(0))과 3·3(=f(0)g'(0))을 더해야 24.
실수 포인트 ③ : 연립에서 부호 실수로 f'(0), g'(0)을 뒤바꾸는 실수. f'(0)−g'(0)=2와 f'(0)+g'(0)=8을 더하면 2f'(0)=10 → f'(0)=5, g'(0)=3 순서를 지켜라.
정답 : 24