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limx→0(f(x)+g(x))/x=3 → f(0)+g(0)=0. limx→0(f(x)+3)/(xg(x))=2에서 분모 xg(x)→0, 극한이 존재하므로 분자 f(x)+3→0 → f(0)=−3. 이걸 앞 식에 넣어 g(0)=3. 여러 극한 중 ‘단독으로 값이 튀어나오는 것(f(0)+3=0)’부터 손대는 게 순서 잡기 요령이다.
◀ 상수만 든 분자(f(x)+3)가 함숫값을 가장 먼저 준다
f(0)=−3이므로 f(x)+3=f(x)−f(0). 따라서 (f(x)+3)/(xg(x)) = (f(x)−f(0))/x × 1/g(x)로 분해된다. x→0에서 앞 조각은 f'(0), 뒤 조각은 1/g(0)=1/3. 그러므로 f'(0)·(1/3)=2 → f'(0)=6. 곱해진 극한은 따로따로 극한 가능한 조각으로 분리하는 게 대치동 정석.
◀ 극한의 곱 = 각 극한의 곱, 미분계수 조각을 떼어내라
limx→0(f(x)+g(x))/x = f'(0)+g'(0)=3. f'(0)=6 대입 → g'(0)=−3. h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)이므로 h'(0)=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)=6·3+(−3)(−3)=18+9=27.
◀ 재료 f(0)=−3, g(0)=3, f'(0)=6, g'(0)=−3 → 대입 한 줄
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 극한 조건이 두 개면 ‘어느 것이 값을 단독으로 주는가’를 먼저 본다. (f(x)+3)/(xg(x))의 분자 f(x)+3=0에서 f(0)=−3이 즉시 나오고, 이게 도미노처럼 g(0)=3을 부른다. 두 번째 스킬은 복잡한 분수를 (f(x)−f(0))/x × 1/g(x)로 쪼개 미분계수 f'(0)과 1/g(0)의 곱으로 읽는 것. 마지막은 첫 식으로 g'(0)을 채우고 곱의 미분에 대입한다.
실수 포인트 ① : (f(x)+3)/(xg(x))를 통째로 미분계수로 착각하는 실수. x와 g(x)가 분모에 섞여 있으니 반드시 1/g(x)를 떼어내 (f(x)−f(0))/x 부분만 f'(0)으로 읽어야 한다.
실수 포인트 ② : 1/g(x)의 극한 1/g(0)=1/3을 빠뜨리는 실수. f'(0)/3=2라서 f'(0)=6이지, f'(0)=2가 아니다.
실수 포인트 ③ : 마지막 h'(0)에서 (−3)(−3)의 부호를 놓쳐 −9로 계산하는 실수. f(0)g'(0)=(−3)×(−3)=+9이고 6·3+9=27.
정답 : ① (h'(0)=27)