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limx→1 [f(x)g(x)+4]/(x−1)=8에서 x→1이면 분모(x−1)→0이다. 극한이 8이라는 유한값으로 존재하려면 분자도 함께 0으로 가야 한다. 즉 f(1)g(1)+4=0. f(1)=−2를 넣으면 −2·g(1)+4=0 → g(1)=2. 0으로 나눠지는 꼴에서 극한이 살아있다면, 분자가 0이라는 방정식이 공짜로 하나 주어진다.
◀ [유한값]/(x−a) 꼴에서 분모→0이면 분자→0은 무조건 쓴다
h(x)=f(x)g(x)로 묶으면 h(1)=f(1)g(1)=(−2)·2=−4다. 그러면 분자 f(x)g(x)+4 = h(x)−h(1)로 변신한다. 따라서 limx→1 [h(x)−h(1)]/(x−1) = h′(1)=8. 어색하게 붙어있는 상수 +4는 사실 −h(1)이고, 이걸 알아채는 순간 극한이 통째로 미분계수의 정의로 바뀐다.
◀ 곱 f·g를 한 덩어리 h로 묶으면 상수항이 −h(1)로 보인다
먼저 g를 확정한다. g(x)=ax+b면 g(0)=b, g′(0)=a인데 조건 (나) g(0)=g′(0)이라 a=b, 즉 g(x)=ax+a. g(1)=2a=2 → a=1이므로 g(x)=x+1. 이제 h′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)=f′(1)·2+(−2)·1=2f′(1)−2=8 → f′(1)=5. g가 이미 완전히 밝혀져 있어 미지수는 f′(1) 하나뿐이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 f(x)g(x)를 h(x) 한 덩어리로 묶는 것이다. 그러면 분자의 +4가 −h(1)임이 드러나 극한이 미분계수 h′(1)의 정의로 정확히 맞아떨어진다. 곱의 미분법 h′=f′g+fg′를 쓰되, g(x)는 두 조건으로 x+1로 완전히 확정되므로 g(1)=2, g′(1)=1만 대입하면 f′(1)만 남는다.
실수 포인트 ① : 조건 (나) g(0)=g′(0)을 처리하지 않고 넘어가는 실수. 이 한 줄이 g(x)=a(x+1)로 미지수를 하나로 줄여준다. 일차함수는 g(0)=상수항, g′(0)=기울기임을 바로 떠올려라.
실수 포인트 ② : +4를 단순 상수로 놔둔 채 극한을 못 푸는 실수. f(1)g(1)=−4를 계산해 +4=−h(1)임을 확인하면 미분계수 정의가 보인다.
실수 포인트 ③ : h′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)에서 g(1)과 g′(1)을 뒤바꿔 대입하는 실수. g(x)=x+1이니 g(1)=2, g′(1)=1이다.
정답 : ① (f′(1)=5)