문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g는 x=−1, x=1에서 식이 바뀐다. 미분가능하려면 각 이음매에서 (i)좌·우 함숫값이 같고(연속), (ii)좌·우 미분계수가 같아야 한다. 조건 하나당 방정식 하나, 이음매 2개면 방정식이 여러 개 나와 미지수 a, b, c를 잡는다. ‘미분가능’은 항상 ‘연속+기울기 일치’ 두 방정식으로 번역하라.
◀ 미분가능 = 값도 붙고 기울기도 붙는다
x=−1 연속: a−b+c=0. x=1 연속: a+b+c=0. 두 식을 더하면 2(a+c)=0 → c=−a, 빼면 −2b=0 → b=0. 대칭인 두 연속식은 정직하게 소거하지 말고 합·차로 처리하면 한 번에 b와 a+c가 튀어나온다.
◀ 대칭 조건은 더하고 빼서 한 방에 분리
g′는 −1(x<−1), 2ax+b(−1<x<1), 1(x>1). b=0이므로 x=−1에서 −1=2a(−1)=−2a → a=1/2. 따라서 c=−a=−1/2, b=0. 마지막에 a+b−c=(1/2)+0−(−1/2)=1. 조각별 도함수를 써놓고 이음매에서 좌우 값을 같게 두는 게 정석 루틴이다.
◀ 조각마다 미분 → 이음매에서 좌우 기울기 일치
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘g가 모든 실수에서 미분가능’은 식이 바뀌는 x=−1, x=1에서 연속과 미분계수 일치를 동시에 요구한다. 연속 두 식 a−b+c=0, a+b+c=0을 합·차로 처리해 b=0, c=−a를 얻고, 미분계수 조건 −1=−2a로 a=1/2를 확정한다. 그러면 a+b−c가 곧바로 계산된다.
실수 포인트 ① : 미분가능인데 연속만 확인하고 끝내는 실수. 연속만으로는 미지수가 다 안 잡히고, 미분계수 일치(기울기 연결)까지 써야 a가 정해진다.
실수 포인트 ② : f(−1)=a−b+c의 부호를 a+b+c로 잘못 쓰는 실수. x=−1을 대입하면 b항의 부호는 −b다.
실수 포인트 ③ : 마지막 a+b−c에서 c=−1/2의 부호를 놓쳐 0으로 답하는 실수. −c=+1/2이므로 (1/2)+0+(1/2)=1이 정답이다.
정답 : ⑤ (a+b−c=1)