문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g의 정의는 f(x)≤x냐 아니냐로 갈린다. (1/2)x²≤x ⇔ x²−2x≤0 ⇔ 0≤x≤2. 이 구간에선 g=f=(1/2)x², 나머지(x<0 또는 x>2)에선 g=x. 조건부 함수는 부등식을 x범위로 번역해 구간별 식을 먼저 확정하는 게 1순위다.
◀ 조건부 정의는 부등식 → 구간 변환이 먼저다
0≤x≤2에선 g=f인데 이 구간이 바로 f(x)≤x인 곳이라 g≤x. 그 밖에선 g=x이므로 g≤x(등호 성립). 두 조각 어디서도 g가 x를 넘지 않는다. 부등식 명제는 구간마다 나눠 각각 확인하면 반례 걱정이 사라진다.
◀ 명제는 구간별로 쪼개 각각 검증한다
연결점 x=0, x=2에서만 위험하다. x=0: 왼쪽 g=x는 기울기 1, 오른쪽 g=(1/2)x²는 g′=x→0 → 1≠0 미분불가. x=2: 왼쪽 g′=x→2, 오른쪽 g=x는 기울기 1 → 2≠1 미분불가. 두 점 모두 좌·우 기울기가 어긋나 미분불가능 개수는 2.
◀ 연결점에서 양쪽 기울기가 다르면 꺾인 점
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건부 함수 g는 f(x)≤x라는 부등식으로 정의가 갈리므로, 먼저 (1/2)x²≤x를 풀어 0≤x≤2를 얻고 g를 구간별 식으로 확정한다. 그러면 ㄱ은 대입, ㄴ은 구간별 부등식 확인, ㄷ은 연결점 x=0, x=2에서 좌·우 미분계수 비교로 깔끔하게 정리된다.
실수 포인트 ① : (1/2)x²≤x를 x≤2로만 풀고 x≥0을 빠뜨리는 실수. x(x−2)≤0은 0≤x≤2라는 두 부등식이다.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 x=0을 그냥 지나치는 실수. x=2만 꺾인 것 같지만 x=0에서도 직선(기울기 1)과 포물선(기울기 0)이 만나 꺾인다.
실수 포인트 ③ : 미분가능=연속으로 착각하는 실수. x=0, x=2는 연속이지만 좌·우 기울기가 달라 미분은 불가능하다.
정답 : ④ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)