문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=|x²−4|(x+a)=|(x−2)(x+2)|(x+a). 절댓값 안이 0이 되는 x=2, x=−2가 그래프가 꺾이는 뾰족점 후보다. 절댓값 함수는 안쪽 식이 부호를 바꾸는 지점에서 V자로 꺾여 거기서만 미분이 안 될 수 있다. 미분가능성 문제는 항상 이 뾰족점부터 찍고 시작하라.
◀ 절댓값 함수의 미분 위험지대 = 안쪽 식의 근
|(x−c)|는 x=c에서 뾰족하지만, 여기에 (x−c)를 한 번 더 곱하면 (x−c)|(x−c)|가 되어 x=c에서 매끈하게(미분가능) 바뀐다. 즉 |x²−4|(x+a)가 x=2에서 미분가능하려면 곱해지는 (x+a)가 x=2를 근으로 가져 (x−2)를 하나 더 공급해야 한다. |f(x)|가 x=c에서 미분가능 ⇔ f(x)가 (x−c)²을 인수로 가짐이 핵심 공식이다.
◀ 뾰족점을 짝수 제곱으로 감싸면 미분가능해진다
x=2에서 미분가능하려면 (x+a)가 x=2에서 0 → 2+a=0 → a=−2=α. x=−2에서 미분가능하려면 (x+a)가 x=−2에서 0 → −2+a=0 → a=2=β. 따라서 α+β=(−2)+2=0. 좌우극한 미분계수를 일일이 계산하지 않아도 인수 하나로 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |x²−4|(x+a)를 |(x−2)(x+2)|(x+a)로 쪼개면 미분이 위험한 점은 절댓값 안이 0이 되는 x=2, x=−2 딱 두 곳뿐이다. 절댓값 함수는 |(x−c)|가 (x−c)를 짝수 번 품으면 뾰족함이 사라진다. 그래서 |f(x)|가 x=c에서 미분가능 ⇔ f(x)가 (x−c)²을 인수로 가진다는 공식으로 번역하면, 곱해지는 (x+a)가 그 점을 근으로 갖게 하는 a를 찾는 문제로 바뀐다.
실수 포인트 ① : 좌·우 미분계수를 lim으로 직접 계산하다 부호·전개에서 어긋나는 실수. 정석 풀이(STEP B·C)도 맞지만, (x−c)² 인수 공식을 알면 2+a=0, −2+a=0 두 줄로 끝난다.
실수 포인트 ② : α와 β를 뒤바꿔 대입하는 실수. x=2 조건이 α=−2, x=−2 조건이 β=2다. 부호가 대칭이라 헷갈리기 쉬우니 "근이 되어야 하는 점을 (x+a)에 그대로 대입"만 기억하라.
실수 포인트 ③ : α+β를 더할 때 (−2)+2를 −4나 4로 잘못 쓰는 실수. 정답은 0이다.
정답 : 0 (α+β=0)