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f≥0이면 g=2f, f<0이면 g=0. 이 문제 f는 −1≤x<0에서 음수, 0≤x≤1에서 양수이므로 g는 왼쪽 절반 0, 오른쪽 절반 2f인 그래프가 된다. 절댓값이 붙은 합은 ‘음수 죽이고 양수 두 배’로 즉시 번역하라.
◀ f+|f| = 음수구간 0, 양수구간 2배
f(−x)는 f를 y축에 대칭이동한 그래프다. h=f(x)+f(−x)는 원본과 대칭본을 세로로 더한 것이라 항상 h(−x)=h(x), 즉 짝함수다. 좌·우가 거울처럼 같으니 x=0 주변만 보면 좌극한과 우극한이 자동으로 같아진다.
◀ f(x)+f(−x)는 항상 짝함수(우함수)
ㄱ은 g의 x=0 좌·우극한이 모두 0이라 극한 0(참). ㄴ은 |h|의 x=0 극한 1=함숫값 1이라 연속(참). ㄷ은 lim g|h|=0×1=0이지만 g(0)|h(0)|=1이라 극한≠함숫값, 불연속(거짓). 곱의 극한은 각 극한값의 곱, 연속은 그 극한이 함숫값과 같은지로 갈린다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 극한값과 함숫값의 분리
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 연산을 정확히 번역하는 게 전부다. g=f+|f|는 ‘음수는 0, 양수는 2배’, h=f(x)+f(−x)는 ‘원본 + y축대칭본’. g는 x=0 좌우가 모두 0으로 이어지고, h는 짝함수라 좌우극한이 저절로 같다. 나머지는 x=0에서 극한값과 함숫값을 따로 구해 비교하는 기계적 작업이다.
실수 포인트 ① : 극한을 채워진 점(●)의 함숫값으로 읽는 실수. 극한은 도착 직전의 높이, 함숫값은 그 점의 실제 값이다. ㄷ이 거짓인 이유가 바로 이 둘의 불일치(0 vs 1)다.
실수 포인트 ② : 곱함수 g|h|의 연속을 ‘g도 연속, |h|도 연속이니 곱도 연속’으로 성급히 단정하는 실수. g는 x=0에서 불연속이므로 곱도 불연속일 수 있다. 반드시 lim(g|h|)와 g(0)|h(0)|을 직접 비교하라.
실수 포인트 ③ : h(x)=f(x)+f(−x)에서 f(−x)의 대칭을 반대로 그리는 실수. −x는 y축 대칭(좌우 뒤집기)이지 x축 대칭이 아니다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄴ)