문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=(f(x)+|f(x)|)/2는 f≥0이면 (f+f)/2=f, f<0이면 (f−f)/2=0. 즉 g=max(f,0)이다. x축 아래로 내려간 부분은 전부 0으로 눌러붙이고 위쪽만 그대로 남기는 스위치다. 그래프를 보자마자 음수 구간을 x축으로 밀어올려 그려라.
◀ (f+|f|)/2 = 양수부분만 살리고 음수부분은 0
f가 음수→0으로 눌리는 구간은 0끼리 부드럽게 붙어 끊길 일이 없다. 진짜 위험한 곳은 f 자체가 점프하는 조각 경계 x=−1, x=1이다. 여기서만 좌극한·우극한·함숫값을 따져라. a는 조각 ax−1에만 들어있으니 경계값이 a로 표현된다.
◀ 연속 검사는 조각 경계에만 집중하라
x=−1에서 왼쪽 조각 x+3은 →2(양수라 g=2). 오른쪽 조각 ax−1은 x=−1에서 −a−1. g가 연속이려면 −a−1=2. 이 방정식을 풀면 a=−3. ‘연속’이라는 단어는 늘 ‘좌극한=우극한=함숫값’ 등식으로 번역하는 습관을 들여라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (f+|f|)/2를 max(f,0)으로 읽는 순간 문제의 절반이 끝난다. g는 f의 그래프에서 x축 아래 부분을 전부 0으로 눌러붙인 함수다. 이렇게 눌린 함수의 불연속 후보는 f가 점프하는 조각 경계뿐이므로 x=−1, x=1만 검사하면 된다. a가 들어있는 경계 x=−1에서 좌극한=우극한을 세우면 a가 결정된다.
실수 포인트 ① : (f+|f|)/2를 그냥 f로 착각하는 실수. f가 음수인 구간에서는 0이 된다는 걸 놓치면 그래프 자체가 틀린다.
실수 포인트 ② : g가 연속이려면 f도 연속이어야 한다고 오해하는 실수. f는 점프해도 눌린 뒤 값이 맞으면 g는 연속일 수 있다. 검사는 g 기준으로.
실수 포인트 ③ : −a−1=2에서 부호를 놓쳐 a=−1로 답하는 실수. −a=3 → a=−3이다.
정답 : ④ (a=−3)