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삼각형 OPQ는 한 꼭짓점이 원점이라 넓이 공식이 극단적으로 짧아진다. f(t)=½|x_P·y_Q − x_Q·y_P| = ½|t·4t² − (−2t)·t²| = ½·6t³ = 3t³. 밑변·높이를 따지거나 큰 사각형에서 빼는 계산 없이, 좌표 네 개를 대각선으로 곱해 빼면 끝난다. 원점을 낀 삼각형엔 이게 정석 스킬이다.
◀ 원점 꼭짓점 삼각형은 무조건 신발끈 한 방
두 점 P(t,t²), Q(−2t,4t²)를 지나는 직선의 기울기는 (4t²−t²)/(−2t−t) = 3t²/(−3t) = −t. 식은 y=−tx+2t²이고, y절편은 x=0을 넣어 g(t)=2t². ‘직선과 y축의 교점의 y좌표’라는 긴 말은 결국 y절편, 즉 직선식을 정리했을 때의 상수항이다.
◀ y절편 = 직선식 정리 후 상수항 그 자체
분자 t·g(t)−t = 2t³−t, 분모 2f(t)+1 = 6t³+1. 둘 다 3차이므로 분모·분자를 t³으로 나누면 낮은 차수 항은 전부 0으로 죽고 최고차항 계수의 비 2/6 = 1/3만 남는다. t→∞ 유리식 극한은 ‘차수 같으면 최고차항 계수의 비’라는 걸 몸에 새겨라.
◀ 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 곧 극한값
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ①신발끈으로 f(t)=3t³ ②두 점 직선의 y절편으로 g(t)=2t² ③분수꼴 ∞ 극한, 순서로 간다. 분자 t·g(t)−t=2t³−t, 분모 2f(t)+1=6t³+1이 모두 3차라 최고차항 계수비 2/6 = 1/3으로 끝난다.
실수 포인트 ① : 신발끈에서 절댓값 안 부호를 놓쳐 4t³−2t³=2t³으로 계산하는 실수. x_Q=−2t와 y_P=t²의 곱 부호까지 살리면 4t³+2t³=6t³, 넓이는 3t³이다.
실수 포인트 ② : g(t)를 ‘y축 교점의 x좌표(=0)’로 오해하는 실수. 묻는 것은 y좌표(y절편)이고 x=0을 대입해 얻는다. g(t)=2t².
실수 포인트 ③ : 분자를 t·g(t)로만 보고 −t를 빠뜨리는 실수. 최고차 2t³엔 영향이 없어도 식을 정확히 옮기는 습관이 중요하다. 최종값은 2/6=1/3이다.
정답 : ① (1/3)