문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(c)=0이면 lim(x→c) f(x)/(x−c)=lim[f(x)−f(c)]/(x−c)=f'(c). 즉 (가)의 두 극한은 f(1)=0, f(2)=0을 뜻해 (x−1),(x−2)가 인수이고, 그 극한값 a와 −6은 각각 f'(1), f'(2)다. ‘극한값=미분계수’로 읽으면 조건의 정체가 한눈에 보인다.
◀ f(c)=0일 때 f(x)/(x−c)의 극한은 곧 미분계수 f'(c)
(x−1),(x−2)에서 근 1,2 확보. (나) 세 실근 합=7이므로 나머지 근은 7−1−2=4. 따라서 f(x)=k(x−1)(x−2)(x−4). 근을 다 안 뒤 인수분해형으로 함수를 세우면, 이후 계산이 전개형보다 압도적으로 빠르다.
◀ 근을 알면 무조건 인수분해형 k(x−α)(x−β)(x−γ)로
lim(x→2) f(x)/(x−2)=k(2−1)(2−4)=−2k=−6 → k=3. 그럼 a=lim(x→1) f(x)/(x−1)=3(1−2)(1−4)=3×(−1)×(−3)=9. 인수분해형이라 목표 인수만 약분하고 나머지에 대입하면 끝. 전개하면 오히려 손해다.
◀ 인수분해형에선 목표 인수만 약분하고 대입
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가)의 두 극한은 각각 ‘(x−c)가 분모인데 극한이 유한’ → f(c)=0을 강제해 (x−1),(x−2)를 인수로 준다(값 자체는 f'(1), f'(2)). (나)의 세 근 합=7로 남은 근 4를 역산하면 f(x)=k(x−1)(x−2)(x−4). 남은 극한값 −6으로 k=3을 잡고, a는 x→1 극한에 대입만 하면 된다.
실수 포인트 ① : lim f(x)/(x−1)=a에서 a를 미지수로만 두고 f(1)=0 정보를 안 쓰는 실수. 이 극한이 유한하다는 것 자체가 f(1)=0(인수 (x−1))을 뜻한다.
실수 포인트 ② : 근의 합 7에서 남은 근을 4가 아닌 값으로 잘못 빼는 실수. 7−(1+2)=4.
실수 포인트 ③ : a=3(1−2)(1−4)에서 부호를 놓쳐 −9로 답하는 실수. (−1)×(−3)=+3, 3×3=9다.
정답 : 9 (a=9)