문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
v(t) 그래프에서 x축 아래 넓이는 −, 위 넓이는 +다. 구간별 넓이(절댓값)를 s₁, s₂, s₃로 놓으면 ∫₀ᵃv(t)dt=−s₁, ∫ᵃᵇv(t)dt=+s₂, ∫ᵦᶜv(t)dt=−s₃가 된다. 위치의 변화량은 부호 있는 넓이의 합, 이동 거리는 절댓값 넓이의 합이라는 두 문장을 딱 구분해 두면, 이 문제 전체가 s₂, s₃에 대한 방정식으로 바뀐다.
◀ 위치변화량 = 부호 있는 넓이 / 이동거리 = 절댓값 넓이
점 P가 처음으로 운동 방향을 바꾸는 순간이 곧 v(t)가 0이 되며 부호가 바뀌는 t=a다. 그때 위치 −8은 그대로 −8 = ∫₀ᵃv(t)dt = −s₁ → s₁=8로 번역된다. 마찬가지로 t=c에서의 위치 −6도 ∫₀ᶜv(t)dt = −s₁+s₂−s₃ = −8+s₂−s₃ = −6, 즉 s₂−s₃=2. 말로 준 위치·시각 조건은 예외 없이 정적분(넓이) 등식으로 바꿔 적어라.
◀ 말로 준 위치 조건은 즉시 ∫=넓이 등식으로 번역
조건 ∫₀ᵇv(t)dt = ∫ᵦᶜv(t)dt를 넓이로 옮기면 좌변 −s₁+s₂=−8+s₂, 우변 −s₃이므로 −8+s₂=−s₃ → s₂+s₃=8. 힌트2의 s₂−s₃=2와 연립하면 s₂=5, s₃=3. 구하는 것은 t=a부터 t=b까지의 이동거리인데 이 구간은 v(t)>0이라 이동거리=위치변화량=∫ᵃᵇv(t)dt=s₂=5.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 넓이 문자화 → 연립 → 원하는 넓이만 추출
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 속도 그래프 문제는 결국 넓이에 부호가 전부다. 구간마다 넓이를 s₁, s₂, s₃로 문자화한 뒤, 말로 준 위치 조건(첫 방향 전환 위치 −8, t=c 위치 −6)과 정적분 등식(∫₀ᵇ=∫ᵦᶜ)을 각각 넓이 방정식으로 번역하면 미지수 연립 문제로 깔끔히 정리된다. 최종적으로 묻는 a~b 이동거리는 그 구간에서 v(t)>0이므로 이동거리=위치변화량=s₂로 곧장 답이 나온다.
실수 포인트 ① : 이동거리와 위치변화량을 혼동하는 실수. [a,b]에서는 v>0이라 둘이 우연히 같지만, [0,a]나 [b,c]처럼 v<0인 구간에서 이동거리를 부호 넣은 값 그대로 쓰면 틀린다. 이동거리는 항상 절댓값 넓이다.
실수 포인트 ② : t=c 위치식의 부호 실수. ∫₀ᶜv = −s₁+s₂−s₃ = −8+s₂−s₃에서 s₃ 앞의 −부호를 빠뜨리면 s₂−s₃=2가 나오지 않는다.
실수 포인트 ③ : ∫₀ᵇv=∫ᵦᶜv를 성급히 s₂=s₃로 오해하는 실수. 좌변은 −8+s₂, 우변은 −s₃이므로 부호 포함 넓이를 넣어야 s₂+s₃=8이 된다.
정답 : ③ (5)