문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
v(t)와 t축 사이 넓이를 부호 무시하고 A,B,C,D로 이름 붙인다. A는 [0,a] 양수부분, B·C는 음수부분(a~c), D는 [c,d] 양수부분. 조건 ∫₀ᵃ|v|dt=∫ₐᵈ|v|dt는 곧 A=B+C+D. 조건을 넓이 등식으로 번역하는 게 시작이다.
◀ 부호 있는 그래프는 넓이에 이름부터 붙여라
∫|v|dt는 실제 움직인 거리(넓이 총합), ∫v dt는 위치 변화량(양수넓이-음수넓이)이다. 이 둘을 분리하는 순간 모든 보기가 A,B,C,D의 덧셈·뺄셈으로 정리된다.
◀ 절댓값 있으면 다 더하고, 없으면 부호대로 빼라
위치는 ∫₀ᵗv. 끝까지 가면 A-B-C+D. 조건 A=B+C+D에서 A-B-C=D>0이므로 위치는 항상 양수 쪽이라 0으로 내려오지 않는다. 그래서 P는 출발 후 원점을 다시 지나지 않는다 → ㄱ 거짓.
◀ 원점 재방문 = 위치함수가 0을 찍는지로 판단
ㄴ: ∫₀ᶜv=A-B-C, ∫ᶜᵈv=D. 조건상 A-B-C=D라 같다(참). ㄷ: ∫₀ᵇv=A-B, ∫ᵦᵈ|v|=C+D. A=B+C+D에서 A-B=C+D라 같다(참). 모든 보기를 넓이 문자식으로 치환하면 계산으로 끝난다.
◀ 적분 구간을 넓이 조각으로 쪼개 대입한다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 부호가 바뀌는 속도 그래프는 넓이 조각에 A,B,C,D 이름을 붙이는 순간 문제가 대수 계산으로 바뀐다. 조건 ∫₀ᵃ|v|=∫ₐᵈ|v|를 A=B+C+D로 번역해 두고, 각 보기의 적분을 이 문자들의 합·차로 바꾸면 참·거짓이 계산으로 나온다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 ‘원점을 지난다’를 속도가 0이 되는 순간(방향 전환)으로 착각하는 실수. 원점 재방문은 위치(∫v)가 0이 되는지의 문제다.
실수 포인트 ② : |v|적분과 v적분을 뒤섞어 음수 넓이의 부호를 빠뜨리는 실수. 거리(다 더함)와 위치변화(부호대로)를 반드시 구분한다.
실수 포인트 ③ : 구간 [0,c], [b,d] 등을 A,B,C,D로 쪼갤 때 경계(a,b,c)를 잘못 끊어 조각을 빠뜨리는 실수. 그래프의 부호 전환점과 문자 경계를 일치시켜라.
정답 : ④ (ㄴ, ㄷ)