문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
두 번째 적분에 g(x)가 있다고 x²+x=y를 x에 대해 풀면 근의 공식 지옥이다. 대신 공식 ∫abf(x)dx + ∫f(a)f(b)g(x)dx = b·f(b) − a·f(a) 를 통째로 외워 쓴다. g가 뭔지 몰라도 f 값만으로 끝난다.
◀ 적분식 안에 ‘역함수’가 보이면 계산 대신 넓이 공식부터 떠올려라
g의 정적분 넓이를 y=x에 대칭시켜 뒤집으면 f 그래프의 왼쪽 넓이가 된다(해설 그림의 A=B). 그걸 f의 정적분과 합치면, 좌표축과 점 (b, f(b))가 만드는 큰 직사각형에서 점 (a, f(a))의 작은 직사각형을 뺀 넓이만 딱 남는다.
◀ 공식이 안 외워지면 이 그림 하나로 언제든 복원할 수 있다
b=a+1, f(x)=x²+x를 대입 → (a+1)·f(a+1) − a·f(a) = 3a²+5a+2. 이게 24이므로 3a²+5a−22=0, 인수분해하면 (a−2)(3a+11)=0. 양수 조건 a>0으로 a=2.
◀ 마지막에 음수근 −11/3 을 버리는 게 이 문제의 진짜 함정이다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 번째 적분의 g(x)를 보고 역함수를 직접 구하려 하면 x²+x=y에서 근의 공식이 튀어나와 계산이 무너진다. 이 문제의 핵심 발상은 g를 절대 구하지 않고 역함수 정적분의 넓이 공식 ∫abf + ∫f(a)f(b)g = b·f(b) − a·f(a) 를 통째로 쓰는 것이다. 그림에서 두 넓이를 합치면 큰 직사각형(가로 b, 세로 f(b))에서 작은 직사각형(가로 a, 세로 f(a))을 뺀 값만 남는다.
실수 포인트 ① : 두 번째 적분 구간을 x구간으로 착각하는 실수. 이 적분은 y=f(a)부터 y=f(b)까지의 y구간이다. f(a)=a²+a, f(a+1)=a²+3a+2를 정확히 계산해야 한다.
실수 포인트 ② : 공식 부호를 뒤집어 a·f(a) − b·f(b)로 쓰는 실수. 항상 큰 쪽(b) − 작은 쪽(a) 순서다.
실수 포인트 ③ : 3a²+5a−22=0을 (a−2)(3a+11)=0으로 인수분해한 뒤, 양수 조건을 잊고 음수근 a=−11/3 을 답으로 쓰는 실수. a>0이므로 a=2다.
정답 : ② (a=2)