문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)−2에 x=0, y=0을 넣으면 f(0)=f(0)+f(0)−2 → f(0)=2. 함수방정식 문제의 첫 수순은 언제나 0 대입으로 초기값 f(0) 확보다. 이 값이 나중에 적분상수를 결정하는 열쇠가 된다.
◀ 함수방정식 → 0 대입 → 초기값 f(0) 확보가 1번
f(x+h)=f(x)+f(h)+xh(x+h)−2를 정의식에 대입하면 f'(x)=limh→0{[f(h)−2]/h + x(x+h)}. 핵심은 [f(h)−2]/h 덩어리를 하나의 상수로 보는 것. 조건식을 도함수 정의에 그대로 삽입하는 게 이 유형의 정석 발상이다.
◀ 조건식을 미분계수 정의에 그대로 대입
f'(1)=2를 정의로 풀면 limh→0[f(h)−2]/h=1이 나온다. 이 1을 위 식에 대입하면 f'(x)=1+x·x=x²+1. 한 번 구한 극한값을 상수처럼 재사용해 f'(x) 전체를 뽑아내는 게 시간을 가르는 스킬이다.
◀ 미리 구한 극한값을 상수처럼 재사용
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 함수방정식 3단 콤보다. (1) x=y=0으로 f(0)=2, (2) 도함수 정의에 조건식을 대입해 f'(x)=x²+1, (3) 부정적분 후 f(0)=2로 적분상수를 잡아 f(x)를 완성한다.
실수 포인트 ① : f(0)을 먼저 구하지 않아 뒤에서 적분상수를 못 정하는 실수. f(0)=2가 C를 결정한다.
실수 포인트 ② : 도함수 정의에서 f(h) 그대로 두어 극한이 발산하는 실수. f(0)=2를 반영해 [f(h)−2]/h 꼴로 만들어야 h→0에서 수렴(=1)한다.
실수 포인트 ③ : f(x)=⅓x³+x+C에서 ⅓ 계수를 빠뜨리는 실수. C=f(0)=2이고 f(3)=⅓·27+3+2=9+3+2=14이다.
정답 : ④ (f(3)=14)