문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f'>0이면 증가, f'<0이면 감소. 이 그래프는 x<−1에서 음(감소), −1<x<1에서 양(증가), x>1에서 음(감소)이다. 부호가 −→+로 바뀌는 x=−1은 극소, +→−로 바뀌는 x=1은 극대. 극점 위치만으로 보기 절반이 걸러진다.
◀ 부호가 바뀌는 x에서만 극대·극소가 생긴다
구간별 부정적분에는 적분상수가 여럿 생긴다. 먼저 원점을 지나므로 f(0)=0으로 가운데 조각의 상수를 0으로 고정하고, 나머지는 x=−1, x=1에서 연속(좌극한=우극한)이라는 조건으로 도미노처럼 결정한다. 연속으로 이어야 끊김 없는 한 곡선이 된다.
◀ f(0)=0 고정 → 나머지는 연속 조건으로 결정
증감표가 같아도 최종 개형은 극값의 실제 높이에서 갈린다. 여기서는 극소 f(−1)=−1<0, 극대 f(1)=1>0, 그리고 원점 통과. ‘감소–증가–감소’만 맞는 보기가 여러 개일 때 극값의 부호와 원점 통과 두 정보로 하나만 남긴다.
◀ 증감이 같으면 극값의 부호·원점통과로 최종 결정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (1) f' 부호로 증감을 읽어 감소–증가–감소, 극소 x=−1·극대 x=1을 잡고, (2) 원점통과 f(0)=0과 연속 조건으로 각 구간 식을 확정하며, (3) 극소는 음수·극대는 양수라는 극값의 부호로 개형을 최종 결정한다.
실수 포인트 ① : f'가 x=0에서 0이 되니 여기서 극값이라 착각하는 실수. x=0 좌우로 f'가 양→양이라 부호가 안 바뀌므로 극값이 아니다(스칠 뿐). 극값은 x=−1, x=1뿐이다.
실수 포인트 ② : 구간별 적분상수를 무시하고 조각들을 그냥 이어 그리는 실수. x=−1, x=1에서 연속 조건으로 상수를 맞춰야 끊김 없이 연결된다.
실수 포인트 ③ : 증감 방향만 보고 비슷한 보기와 헷갈리는 실수. 극소가 음수(−1)이고 원점을 지난다는 두 정보로 ③이 확정된다.
정답 : ③