문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
최고차항 계수가 1(양수)인 삼차함수가 극값이 없으려면 항상 증가, 즉 f'(x)≥0이어야 한다. 이차식 f'(x)가 늘 0 이상이려면 판별식≤0, 다시 말해 f'(x)=0이 중근이고 f'(x)는 (x−α)² 꼴 완전제곱이다. ‘극값 없음’을 보면 곧바로 f'=완전제곱을 떠올려라.
◀ 극값 없는 삼차 → f'(x)=3(x−α)² 로 즉시 세팅
f'(1)=0이므로 완전제곱의 중근이 α=1 → f'(x)=3(x−1)². 여기에 f(1)=0까지 겹치면 x=1은 f의 근이면서 f'의 중근, 즉 삼중근이다. 계수 1인 삼차의 삼중근이면 식은 고민 없이 f(x)=(x−1)³. 적분·전개를 거치지 않고 한 줄에 식이 확정된다.
◀ f=0, f'=0이 같은 점이고 극값 없으면 그 점은 삼중근
굳이 x³−3x²+3x−1로 전개한 뒤 대입하면 부호·계산 실수만 는다. 인수분해 형태 (x−1)³ 그대로 x=3을 넣어 2³=8. 삼중근·이중근 구조가 보이면 전개하지 말고 근의 형태로 대입하는 게 가장 빠르고 안전하다.
◀ 인수분해된 식이 있으면 전개 없이 그대로 대입
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건을 각각 번역한다. (가) ‘극값 없음’은 f'(x)≥0 = 완전제곱, (나) ‘f(1)=f'(1)=0’은 x=1에서 삼중근. 계수 1인 삼차이므로 f(x)=(x−1)³이 즉시 확정되고, 나머지는 대입뿐이다.
실수 포인트 ① : ‘극값이 없다’를 f'(x)=0이 허근일 때만이라고 오해하는 실수. 중근(스치는 접점)도 극값이 없다. f'(1)=0이라는 조건과 양립하려면 허근이 아니라 x=1이 중근이어야 한다.
실수 포인트 ② : f(x)=x³−3x²+3x+C까지 구하고 적분상수 C를 안 정하는 실수. f(1)=0을 대입해 1−3+3+C=0 → C=−1까지 마무리해야 한다.
실수 포인트 ③ : f(3) 계산을 전개식으로 하다 27−27+9−1을 잘못 더하는 실수. (3−1)³=8로 인수분해 형태 대입이 안전하다.
정답 : 8 (f(x)=(x−1)³)