문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)≤12x+k≤g(x)는 ① f(x)≤12x+k 와 ② 12x+k≤g(x) 두 조건을 동시에 만족하라는 말. 하나는 직선이 아래 곡선 위에, 하나는 직선이 위 곡선 아래에 있으라는 뜻이다. 이중부등식은 겁먹지 말고 두 개로 갈라 각각 처리하는 게 정석.
◀ 이중부등식 = 부등식 두 개의 교집합
① h(x)=f(x)−12x−k≤0 (모든 x). h′(x)=−2(x+2)(2x²−x+3)인데 2x²−x+3>0(항상)이라 부호는 (x+2)만 결정 → x=−2에서 최대. h(−2)=20−k≤0 → k≥20. ② 3x²−12x+(a−k)≥0(모든 x)은 판별식/4=36−3(a−k)≤0 → k≤a−12.
◀ 항상 양수인 이차인수는 부호에 관여 못 한다, 극점은 하나
두 조건 합치면 20≤k≤a−12. 이 구간의 자연수 k 개수가 3이려면 k=20,21,22, 즉 a−12=22. 부등식으로는 22≤a−12<23 → 34≤a<35 → 자연수 a=34. 개수 공식 (a−12)−20+1=a−31=3에서 바로 a=34로 확인. 양끝을 다 포함한다는 걸 잊지 마라.
◀ 20부터 22까지는 3개, 개수는 (끝−처음+1)
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 직선 y=12x+k를 두 곡선 사이에 끼우는 그림을 떠올려라. 아래 곡선 f 위에 있어야 하고(①), 위 곡선 g 아래에 있어야 한다(②). 각각을 “모든 x에서 성립”으로 놓으면 ①은 최대최소, ②는 판별식으로 자연스럽게 넘어간다.
실수 포인트 ① : h′(x) 인수분해에서 2x²−x+3을 그냥 두고 근을 더 찾으려는 실수. 판별식이 음수(항상 >0)라 실근이 없으니 부호는 (x+2) 하나가 결정 → 극점은 x=−2 단 하나다.
실수 포인트 ② : ② 조건에서 3x²−12x+(a−k)≥0의 판별식 방향을 헷갈리는 실수. 아래로 볼록한 이차식이 항상 0 이상이려면 판별식≤0. 부등호 방향을 반대로 쓰면 답이 통째로 뒤집힌다.
실수 포인트 ③ : 20≤k≤a−12에서 자연수 개수를 셀 때 양끝 포함을 빼먹는 실수. 개수는 (a−12)−20+1이다. 이걸 3으로 놓으면 a=34, 개수 공식 없이 k=20,21,22를 직접 나열해 검산하면 안전하다.
정답 : 34