문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x=2t³−7t²+8t를 t로 미분하면 v(t)=6t²−14t+8, 한 번 더 미분하면 a(t)=12t−14다. ‘출발할 때 속도’는 v(0)=8, ‘가속도’는 a에 시각을 대입만 하면 끝. 위치→속도→가속도 미분 사다리를 맨 먼저 세워두면 ㄱㄴㄷ이 전부 대입 산수가 된다.
◀ 문제 시작하자마자 v(t)와 a(t)부터 구해 종이 위에 적어라
v(t)=0: 6t²−14t+8=2(t−1)(3t−4)=0 → t=1, t=4/3. 두 근 모두 좌우에서 v의 부호가 뒤집히므로 운동 방향을 두 번 바꾼다. 단, v=0이라고 무조건 방향 전환이 아니라 실제로 부호가 바뀌어야 인정된다(중근이면 안 바뀜).
◀ v=0인 근에서 부호변화까지 확인해야 진짜 방향전환
근이 t=1과 t=4/3(≈1.33)이므로 두 번째로 바뀌는 시각은 t=4/3. 여기서 가속도 a(4/3)=12·(4/3)−14=16−14=2. 문제는 −2라 했으니 부호까지 틀려 거짓. ‘첫 번째/두 번째’는 항상 근을 크기순으로 나열한 뒤 골라야 헷갈리지 않는다.
◀ ㄷ의 함정: t=4/3에서 a=+2인데 −2로 속인다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 위치함수 x(t)가 주어진 수직선 운동 문제는 v(t)=x'(t), a(t)=v'(t)를 맨 먼저 구해 적어두는 게 전부다. ㄱ은 v(0), ㄴ은 v(t)=0의 근과 부호변화, ㄷ은 두 번째 근에서의 a값 — 세 보기 모두 이 두 도함수에서 바로 나온다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 v(t)=0의 근만 세고 바로 ‘방향 두 번 전환’이라 결론내는 실수. 엄밀히는 각 근에서 부호가 실제로 뒤집히는지 확인해야 한다. 이 문제는 서로 다른 두 실근이라 둘 다 바뀌어 참.
실수 포인트 ② : ㄷ의 ‘두 번째’ 시각을 t=1로 착각하는 실수. 근을 크기순(1 < 4/3)으로 세우면 두 번째는 t=4/3이다.
실수 포인트 ③ : a(4/3)=2인데 문제의 −2에 낚여 참으로 처리하는 실수. 부호까지 비교해 거짓임을 확정해야 ㄱ,ㄴ만 참인 정답이 나온다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄴ)