문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
해집합 {x|f(x)=3}={−a, a, 2a}는 방정식 f(x)−3=0의 근이 −a, a, 2a라는 뜻. 최고차항 계수가 1인 삼차이므로 f(x)−3=(x+a)(x−a)(x−2a). 즉 f(x)=(x+a)(x−a)(x−2a)+3. +3을 다시 붙이는 걸 잊지 마라.
◀ ‘f(x)=k의 근’ → f(x)−k를 근들의 곱으로 인수분해
f'(1)=−9는 a에 대한 이차방정식을 준다: a²+4a−12=0 → (a+6)(a−2)=0 → a=2 또는 −6. 여기서 끝내면 안 된다. f(0)>0, 즉 2a³+3>0이라는 부등식 필터가 a=−6을 탈락시키고 a=2만 남긴다.
◀ 방정식으로 후보, 부등식으로 최종 선택 — 조건은 버릴 게 없다
a=2이면 f(x)=(x+2)(x−2)(x−4)+3. f(5)를 전개해서 구하면 실수만 늘어난다. 인수 형태 그대로 f(5)=(5+2)(5−2)(5−4)+3=7×3×1+3=24. 곱셈 세 번과 덧셈 한 번이면 끝이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘f(x)=3의 해집합‘이라는 표현을 보는 순간 f(x)−3=0의 근으로 읽어 인수분해한다. 최고차 계수가 1이라 f(x)−3=(x+a)(x−a)(x−2a)로 딱 떨어진다. 그다음 f'(1)=−9로 a의 방정식을, f(0)>0으로 부등식 필터를 만들어 a를 하나로 좁힌다.
실수 포인트 ① : 인수분해할 때 +3을 빠뜨려 f(x)=(x+a)(x−a)(x−2a)로 두는 실수. 인수분해되는 것은 f(x)가 아니라 f(x)−3이다. 반드시 +3을 되돌려라.
실수 포인트 ② : f'(1)=−9에서 a=2, a=−6 둘 다 답으로 쓰는 실수. f(0)=2a³+3>0이 a=−6을 걸러낸다. 부등식 조건을 끝까지 확인해야 한다.
실수 포인트 ③ : f(5)를 전개해서 대입하다 부호·계산 실수. 인수형 (5+2)(5−2)(5−4)+3에 바로 넣으면 7×3×1+3=24로 안전하다.
정답 : f(5)=24