문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
미분가능은 연속(좌·우 함숫값이 같음)과 좌미분계수=우미분계수를 동시에 요구한다. 연속에서 3a−8=f(3), 미분계수 일치에서 a=f'(3). 조각의 경계에서 이 두 등식이 f(3)과 f'(3)를 a로 표현해 준다.
◀ 미분가능 = 연속 하나 + 미분계수 하나, 항상 두 줄
곱으로 묶인 함수의 접선 기울기를 물으면 곱미분이 자동 반사여야 한다. y’=f(x)+(x+1)f'(x). 점 (3, 4f(3))의 x좌표 3을 넣으면 f(3)+4f'(3)=20이라는 a에 대한 방정식이 나온다.
◀ ‘접선 기울기 20’ → x좌표 대입해 방정식 한 개
HINT1의 두 표현을 HINT2의 방정식에 꽂는다. (3a−8)+4a=20 → 7a−8=20 → a=4. g(3)은 x≥3쪽이므로 g(3)=f(3)=3a−8=3×4−8=4. 연속이라 x<3쪽 4x−8에 3을 넣어도 같은 4가 나온다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘미분가능’이라는 단어를 보면 연속식 한 줄, 미분계수식 한 줄을 반사적으로 세운다. 이 두 줄이 f(3), f'(3)를 a의 식으로 바꿔 주고, 남은 조건(접선 기울기 20)이 a를 확정한다. 미지수는 a 하나뿐이라 방정식 하나면 충분하다.
실수 포인트 ① : 미분가능인데 연속만 챙기고 미분계수 일치를 빠뜨리는 실수. 연속만으로는 a가 안 나온다. 두 조건 모두 필요하다.
실수 포인트 ② : 접선 기울기를 구할 때 곱미분을 잊고 y’=(x+1)f'(x)로만 쓰는 실수. y=(x+1)f(x)는 곱이므로 앞항 미분 f(x)가 반드시 더해진다 → y’=f(x)+(x+1)f'(x).
실수 포인트 ③ : g(3)을 물었는데 a값을 안 넣고 멈추거나 엉뚱한 조각을 보는 실수. g(3)=f(3)=3a−8이고 a=4를 넣어 4로 마무리해야 한다.
정답 : g(3)=4