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항등식 양변에 x=1을 넣으면 좌변 (x−1)f′(x)의 (x−1)이 0이 되어 f′(x)가 통째로 사라진다. 남는 건 0=1−1−f(1)뿐이고, 여기서 f(1)=0이라는 첫 정보가 공짜로 나온다. (x−a)가 곱해진 항등식은 언제나 x=a 대입이 1번 수순이다.
◀ 특이점 대입 = 방해되는 항을 0으로 없애는 스킬
x≠1에서 f′(x)=(x²−1−f(x))/(x−1)이다. f′(x)가 연속이라 했으니 함숫값 f′(1)은 옆에서 다가온 극한값과 같아야 한다. 즉 f′(1)=limx→1(x²−1−f(x))/(x−1). ‘연속’이라는 단어를 보면 반사적으로 ‘함숫값=극한값’을 쓴다.
◀ ‘연속’ 세 글자를 등식 한 줄로 바꾸는 습관
분자를 (x−1)(x+1)−{f(x)−f(1)}로 쪼갠다(f(1)=0이라 −f(x)=−{f(x)−f(1)}). 그러면 lim(x+1) − lim{f(x)−f(1)}/(x−1) = 2 − f′(1)이 되어, f′(1)=2−f′(1)이라는 f′(1)에 대한 방정식이 완성된다. 2f′(1)=2 → f′(1)=1.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (x−1)이 곱해진 항등식이므로 x=1을 대입해 f(1)=0을 먼저 확보한다. 그다음 ‘도함수가 연속’을 f′(1)=lim f′(x)로 번역하고, 분자에 f(1)=0을 끼워 미분계수 정의 lim{f(x)−f(1)}/(x−1)=f′(1)을 만든다. 그러면 f′(1)=2−f′(1)이라는 자기참조 방정식이 생겨 f′(1)=1.
실수 포인트 ① : x=1을 f′(x)=(x²−1−f(x))/(x−1)에 그대로 넣어 0/0에서 멈추는 실수. x=1은 대입점이 아니라 극한(연속)으로 접근할 점이다.
실수 포인트 ② : 분자 −f(x)를 −{f(x)−f(1)}로 바꿀 때 f(1)=0을 빼먹어 상수·부호가 어긋나는 실수. 미분계수 정의를 만들려면 반드시 f(1)을 끼워야 한다.
실수 포인트 ③ : f′(1)=2−f′(1)에서 이항을 잊고 f′(1)=2로 답하는 실수. 2f′(1)=2 → f′(1)=1이 맞다.
정답 : ① (f′(1)=1)